The last postulate embodies the pri

The last postulate embodies the principle of mathematical induction and illustrates in a very obvious manner the enforcement of a mathematical “truth” by stipulation. The construction of elementary arithmetic on this basis begins with the definition of the various natural numbers. 1 is defined as the successor of 0, or briefly as 0'; 2 as 1', 3 as 2', and so on. By virtue of P2, this process can be continued indefinitely; because of P3 (in combination with P5), it never leads back to one of the numbers previously defined, and in view of P4, it does not lead back to 0 either.
As the next step, we can set up a definition of addition which expresses in a precise form the idea that the addition of any natural number to some given number may be considered as a repeated addition of 1; the latter operation is readily expressible by means of the successor relation.
This definition of addition runs as follows:
Dl. (a) n + 0 = n (b) n + k' = (n + k)'.
The two stipulations of this recursive definition completely determine the sum of any two integers. Consider, for example, the sum 3 + 2. According to the definitions of the numbers 2 and 1, we have 3 + 2 = 3 + 1' = 3 + (0’)'; by Dl (b), 3 + (0')' = (3 + 0')' = ((3 + 0)')'; but by Dl (a), and by the definitions of the numbers 4 and 5, ((3 + 0)')' = (3')' = 4' = 5. This proof also renders more explicit and precise the comments made earlier in this paper on the truth of the proposition that 3 + 2 = 5: Within the Peano system of arithmetic, its truth flows not merely from the definition of the concepts involved, but also from the postulates that govern these various concepts. (In our specific example, the postulates PI and P2 are presupposed to guarantee that 1, 2, 3, 4, 5, are numbers in Peano’s system; the general proof that Dl determines the sum of any two numbers also makes use of P5.) If we call the postulates and definitions of an axiomatized theory the “stipulations” concerning the concepts of/'that theory, then we may say now that the propositions of the arithmetic of the natural numbers are true by virtue of the stipulations which have been laid down initially for the arithmetical concepts. (Note, incidentally, that our proof of the formula “3 + 2 = 5” repeatedly made use of the transitivity of identity; the latter is accepted here as one of the rules of logic which may be used in the proof of any arithmetical theorem; it is, therefore, included among Peano’s postulates no more than any other principle of logic.)
Now, the multiplication of natural numbers may be defined by means of the following recursive definition, which expresses in a rigorous form the idea that a product nk of two integers may be considered as the sum of k terms each of which equals n.
D2. (a) n*0 = 0; (b) n*k' = n*k + n.
It now is possible to prove the familiar general laws governing addition and multiplication, such as the commutative, associative, and distributive laws (n + k = k + n; n-k = k-n; n + (k + /) = (n + k) + l; n-(k-l) = (n-k) •/; n- (k + /) = (n-k) + (n-l)). In terms of addition and multipli-cation, the inverse operations of subtraction and division can then be defined. But it turns out that these “cannot always be performed”; i.e., in contradistinction to the sum and the product, the difference and the quotient are not defined for every couple of numbers; for example, 7-10 and 7 / 10 are undefined. This situation suggests an enlargement of the number system by the introduction of negative and of rational numbers

Результаты (русский) 2:

Последнее постулат закреплен принцип математической индукции и иллюстрирует в очень очевидным образом исполнение математической "истины" по условию. Строительство элементарной арифметики на этой основе начинается с определения различных натуральных чисел. 1 определяется как преемник 0, или кратко как 0 '; 2 в 1 ', 3 в 2' и так далее. В силу Р2, этот процесс можно продолжать до бесконечности; из Р3 (в сочетании с P5), он никогда не приводит к одному из чисел ранее определенных, и с учетом P4, это не приводит обратно в 0, либо.
В качестве следующего шага, мы можем создать определение того который выражает в точной форме идею о том, что добавление любого натурального числа к некоторому заданному числу можно рассматривать как повторное добавление 1; Последняя операция легко выражается с помощью преемника отношения.
Это определение того работает следующим образом:
дл. () П + 0 = п (б) п + к '= (п + к).
Эти два положениями этого рекурсивного определения полностью определяют сумму любых двух целых чисел. Рассмотрим, например, на сумму 3 + 2. В соответствии с определениями чисел 2 и 1, то есть 3 + 2 = 3 + 1 = 3 + (0 ')'; по DL (б), 3 + (0 ')' = (3 + 0 ')' = ((3 + 0) ')'; но DL (), и определений чисел 4 и 5, ((3 + 0) ')' = (3 ')' = 4 '= 5. Это доказательство также оказывает более явные и точные замечания по ранее в этой статье на истине утверждения, что 3 + 2 = 5: В рамках системы арифметики Пеано, его правда течет не только из определения понятий, связанных, но и из постулатов, которые регулируют эти различные понятия. (В нашем конкретном примере ПИ постулаты и Р2 предполагается, чтобы гарантировать, что 1, 2, 3, 4, 5, являются числами в системе Пеано; общее доказательство, что Dl определяет сумма любых двух чисел также использует P5. ) Если мы называем постулаты и определения в аксиоматизирована Теоретически "оговорки" относительно понятия / "этой теории, то мы можем сейчас сказать, что предложения арифметики натуральных чисел верны в силу положений, которые были заложены изначально для арифметических понятий. (Заметим, кстати, что наше доказательство формулы "3 + 2 = 5" неоднократно использование транзитивности идентичности; последний принял здесь в качестве одного из правил логики, которые могут быть использованы в доказательстве теоремы любой арифметической ; она, следовательно, входит в число постулатов Пеано не более, чем любой другой принцип логики).
Теперь, умножение натуральных чисел может быть определена с помощью следующего рекурсивного определения, выражающего в строгой форме идею, что пк продукт двух целых чисел можно рассматривать как суммы к слагаемых, каждое из которых равно п.
D2. () П * 0 = 0; (Б) п * к '= п * к + п.
Теперь можно доказать знакомые общие закономерности сложения и умножения, например, коммутативной ассоциативной, и дистрибутивные законы (п + К = К + п; пк = кН; N + (К + /) = (N + K) + L; N- (KL) = (NK) • /; N- (K + /) = (NK) + (NL)). С точки зрения того и multipli-катиона, обратные операции вычитания и деления, то может быть определено. Но оказывается, что это "не всегда может быть выполнена"; т.е., в отличие от суммы и продукта, разность и частное не определены для каждой пары чисел; например, 7-10 и 7/10 не определено. Все это говорит в увеличенном масштабе системы счисления введением отрицательной и рациональных чисел

Результаты (русский) 3:

Последний тезис закреплен принцип математической индукции и иллюстрирует весьма очевидным образом исполнение математические "истины" условие. Строительство элементарных арифметических на этой основе начинается с определения различных природных номера. 1, определяется в качестве преемника 0, или кратко 0 '2, 1 ', 3, 2 ', и т. д. В силу P2,