A differential equation is a mathem

A differential equation is a mathematical equation for an unknown function of one or several variables that relates the values of the function itself and its derivatives of various orders. Differential equations play a prominent role in engineering, physics, economics, and other disciplines.
Differential equations arise in many areas of science and technology, specifically whenever a deterministic relation involving some continuously varying quantities and their rates of change in space and/or time (expressed as derivatives) is known or postulated. This is illustrated in classical mechanics, where the motion of a body is described by its position and velocity as the time value varies. Newton's laws allow one (given the position, velocity, acceleration and various forces acting on the body) to express these variables dynamically as a differential equation for the unknown position of the body as a function of time. In some cases, this differential equation (called an equation of motion) may be solved explicitly.
An example of modelling a real world problem using differential equations is the determination of the velocity of a ball falling through the air, considering only gravity and air resistance. The ball's acceleration towards the ground is the acceleration due to gravity minus the deceleration due to air resistance. Gravity is considered constant, and air resistance may be modeled as proportional to the ball's velocity. This means that the ball's acceleration, which is a derivative of its velocity, depends on the velocity (and the velocity depends on time). Finding the velocity as a function of time involves solving a differential equation.
Differential equations are mathematically studied from several different perspectives, mostly concerned with their solutions —the set of functions that satisfy the equation. Only the simplest differential equations admit solutions given by explicit formulas; however, some properties of solutions of a given differential equation may be determined without finding their exact form. If a self-contained formula for the solution is not available, the solution may be numerically approximated using computers. The theory of dynamical systems puts emphasis on qualitative analysis of systems described by differential equations, while many numerical methods have been developed to determine solutions with a given degree of accuracy.
Directions of study
The study of differential equations is a wide field in pure and applied mathematics, physics, meteorology, and engineering. All of these disciplines are concerned with the properties of differential equations of various types. Pure mathematics focuses on the existence and uniqueness of solutions, while applied mathematics emphasizes the rigorous justification of the methods for approximating solutions. Differential equations play an important role in modelling virtually every physical, technical, or biological process, from celestial motion, to bridge design, to interactions between neurons. Differential equations such as those used to solve real-life problems may not necessarily be directly solvable, i.e. do not have closed form solutions. Instead, solutions can be approximated using numerical methods.
Mathematicians also study weak solutions (relying on weak derivatives), which are types of solutions that do not have to be differentiable everywhere. This extension is often necessary for solutions to exist, and it also results in more physically reasonable properties of solutions, such as possible presence of shocks for equations of hyperbolic type.
The study of the stability of solutions of differential equations is known as stability theory.
Universalityofmathematicaldescription
Many fundamental laws of physics and chemistry can be formulated as differential equations. In biology and economics, differential equations are used to model the behavior of complex systems. The mathematical theory of differential equations first developed together with the sciences where the equations had originated and where the results found application. However, diverse problems, sometimes originating in quite distinct scientific fields, may give rise to identical differential equations. Whenever this happens, mathematical theory behind the equations can be viewed as a unifying principle behind diverse phenomena. As an example, consider propagation of light and sound in the atmosphere, and of waves on the surface of a pond. All of them may be described by the same second-order partial differential equation, the wave equation, which allows us to think of light and sound as forms of waves, much like familiar waves in the water. Conduction of heat, the theory of which was developed by Joseph Fourier, is governed by another second-order partial differential equation, the heat equation. It turned out that many diffusion processes, while seemingly different, are described by the same equation; the Black–Scholes equation in finance is, for instance, related to the heat equation.

Результаты (русский) 1:

Дифференциальное уравнение является математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных, что касается значения самой функции и его производные различных порядков. Дифференциальные уравнения играют заметную роль в инженерии, физики, экономики и других дисциплин.Дифференциальных уравнений возникают во многих областях науки и техники, специально когда детерминированной отношения с участием некоторых непрерывно различных количествах и их темпы изменения в пространство и время (в виде производных) известны или постулируется. Это показано в классической механике, где движения тела определяется его положение и скорость как значение времени изменяется. Законы Ньютона позволяют (учитывая позиции, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) выразить эти переменные динамически как дифференциальное уравнение для неизвестного положение тела как функцию от времени. В некоторых случаях может быть решена явно этот дифференциальное уравнение (называется уравнение движения).Пример моделирования реального мира проблемы с помощью дифференциальных уравнений является определение скорости мяча, проваливаясь в воздухе, учитывая только гравитации и сопротивление воздуха. Ускорение мяч к земле является ускорение свободного падения минус замедление из-за сопротивления воздуха. Тяжести считается постоянной, и сопротивление воздуха могут быть смоделированы как пропорциональна скорости мяча. Это означает, что ускорение мяч, который является производным от его скорости, зависит от скорости (и время зависит от скорости). Найти скорость как функцию от времени предполагает решение дифференциального уравнения.Дифференциальные уравнения математически изучаются с нескольких различных точек зрения, главным образом занимающихся их решения — набор функций, которые удовлетворяют уравнения. Только простых дифференциальных уравнений признать решения, учитывая явные формулы; Однако некоторые свойства растворов данного дифференциального уравнения могут быть определены без нахождения их точная форма. Если автономные формулы для решения не доступен, решение может быть численно аппроксимировать с помощью компьютеров. Теория динамических систем ставит акцент на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решения с заданной степенью точности.Направления обученияИзучение дифференциальных уравнений является широкое поле в чистой и прикладной математики, физики, метеорологии и инженерии. Все эти дисциплины связаны с свойства дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существование и единственность решения, в то время как прикладной математики подчеркивает строгий обоснование методов для аппроксимации решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в разработке моделей практически всех физических, технических или биологического процесса, от небесных движения, для преодоления дизайн, взаимодействия между нейронами. Дифференциальные уравнения такие, как те, которые используются для решения проблем реальной жизни не обязательно могут быть непосредственно разрешима, т.е. не имеют закрытая форма решения. Вместо этого могут быть аппроксимированы решения с использованием численных методов.Математиков также изучение слабых растворов (опираясь на слабых производных), которые являются типы решений, которые не должны быть дифференцируема всюду. Это расширение является часто необходимые для решения существуют, и это также приводит к физически более разумные свойств решения, таких как возможного присутствия потрясений для уравнений гиперболического типа.Исследование стабильности решений дифференциальных уравнений известен как теория устойчивости.UniversalityofmathematicaldescriptionМногие фундаментальные законы физики и химии может быть сформулирован как дифференциальных уравнений. В биологии и экономики дифференциальных уравнений используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые разработана совместно с наук, где возникла уравнения и где результаты нашли применение. Однако различные проблемы, иногда возникающие в весьма различных научных областях, может привести к идентичным дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда это происходит, математические теории уравнений можно рассматривать как объединяющим принципом разнообразных явлений. В качестве примера рассмотрим распространения света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все из них может быть охарактеризован же второго порядка уравнения, волновое уравнение, которое позволяет нам думать о света и звука как формы волны, как знакомые волны в воде. Проводимость тепла, теорию которого был разработан Жозеф Фурье, регулируется другим второго порядка уравнения, уравнения теплопроводности. Оказалось, что многие процессы диффузии, хотя внешне различные, описываются уравнением же; Black-Scholes уравнение в сфере финансов например, относящиеся к уравнения теплопроводности.

Результаты (русский) 2:

Дифференциальное уравнение является математическим уравнением для неизвестной функции одного или нескольких переменных, которая связывает значения самой функции и ее производных различных порядков. Дифференциальные уравнения играют важную роль в технике, физике, экономике и других дисциплинах.
Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, в частности, когда детерминированной отношение с участием около непрерывно изменяющиеся величины и их скорости изменения в пространстве и / или времени ( выражается как производные) известны или постулировал. Это показано в классической механике, где движение тела описывается его положение и скорость в значение времени изменяется. Законы Ньютона позволяют (с учетом позиции, скорость, ускорение и различные силы, действующие на тело), ​​чтобы выразить эти переменные динамически дифференциального уравнения для неизвестного положения тела в зависимости от времени. В некоторых случаях, это дифференциальное уравнение (называется уравнение движения) может быть решена в явном виде.
Пример моделирования реального мира проблему с помощью дифференциальных уравнений является определение скорости шар падает через воздух, с учетом только тяжести и сопротивление воздуха , Ускорение мяча к земле является ускорение силы тяжести минус замедление из-за сопротивления воздуха. Гравитация считать постоянным, а сопротивление воздуха может быть смоделирована как пропорциональна скорости шара. Это означает, что ускорение мяча, который является производным от его скорости, зависит от скорости (скорость и зависит от времени). Поиск скорость как функция времени требует решения дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения математической учился с различных точек зрения, в основном связаны с их решения -The набор функций, удовлетворяющих уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения допускают решения, приведенные в виде явных формул; Однако, некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения может быть определено, не находя их точную форму. Если автономный формула для решения не доступен, то решение может быть аппроксимирована с помощью цифровой форме компьютеров. Теория динамических систем ставит акцент на качественном анализе систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решения с заданной степенью точности.
Направления исследования
Исследование дифференциальных уравнений является широкое поле в чистой и прикладной математика, физика, метеорология и техники. Все эти дисциплины озабочены свойств дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, в то время как прикладной математики подчеркивает строгое обоснование методов аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически каждый физическую, техническую, биологическую или процесс, от небесного движения, чтобы преодолеть дизайн, взаимодействий между нейронами. Дифференциальные уравнения, такие как те, которые используются, чтобы решить проблемы в реальной жизни, возможно, не обязательно быть непосредственно разрешима, то есть не имеют закрытые решения формы. Вместо этого, решения могут быть аппроксимированы с помощью численных методов.
Математики также исследовать слабые решения (опираясь на слабых производных), которые типы решений, которые не имеют, чтобы быть дифференцируема всюду. Это расширение часто необходимо для решения существуют, и это также приводит к более физически разумных свойств растворов, например, возможного наличия потрясений для уравнений гиперболического типа.
Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений известно как теория устойчивости.
Universalityofmathematicaldescription
Многие фундаментальные законы физики и химии может быть сформулирована как дифференциальных уравнений. В биологии и экономики, дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые разработана совместно с науками, где уравнения зародилась и где нашли применение результаты. Тем не менее, различные проблемы, иногда возникающие в совершенно разных областях науки, могут привести к тождественных дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда это происходит, математическая теория позади уравнений можно рассматривать в качестве объединяющего принципа позади разнообразных явлений. В качестве примера, рассмотрим распространение света и звука в атмосфере, и волн на поверхности водоема. Все они могут быть описаны одной и той же второго порядка частичного дифференциального уравнения, уравнения волны, что позволяет думать о свете и звучать, как формы волн, так же, как знакомые волн в воде. Теплопроводность, теория которого была разработана Джозеф Фурье, регулируется другим второго порядка частичного дифференциального уравнения, уравнения теплопроводности. Оказалось, что многие процессы диффузии, в то время как, казалось бы, разные, описывается тем же уравнением, уравнение Блэка-Шоулза в области финансов, например, связанные с уравнением теплопроводности.

Результаты (русский) 3:

а дифференциальные уравнения - это математическое уравнение для неизвестной функцией один или несколько переменных, что касается значения функции, так и ее производные различных постановлений.дифференциальных уравнений играть заметную роль в инженерии, физики, экономики и других дисциплин.
дифференциальных уравнений возникают во многих областях науки и техники,в частности, когда детерминированной связи с участием некоторых постоянно в разных количествах и темпы их изменений в космосе и / или времени (выразил, как производные) известно или постулат.это видно в классической механики, где движение тела называют свою позицию и скорость, как раз стоимость варьируется.законов ньютона позволяют (учитывая местоположение, скорость,ускорение и различных сил, действующих на теле) выразить эти переменные, динамично, как дифференциальное уравнение для неизвестных положение тела в зависимости от времени.в некоторых случаях это уравнение ("уравнение движения), может быть решена прямо.
в качестве примера моделирование реального мира проблему, используя дифференциальных уравнений является определение скорости шар падал, учитывая только тяжести и сопротивление воздуха.мяч ускорение к земле является ускорение свободного падения - замедление из - за сопротивление воздуха.гравитация считается постоянной,и сопротивление воздуха может быть смоделированы как пропорционально мяч скорости.это означает, что мяч ускорение, которое является производной от его скорости, зависит от скорости (и скорость зависит от времени).поиск скорости как функцию времени предполагает решает дифференциальное уравнение.
дифференциальных уравнений математически изучал из нескольких различных точек зрения,в основном в связи с их решения - набор функций, которые удовлетворяют уравнение.только простых дифференциальных уравнений признать решения с учетом четким формул; однако некоторые свойства решений той или иной дифференциальное уравнение можно определить, не найдя их точная форма.если автономным формуле для решения, не имеется,решение может быть численно почти с использованием компьютеров.теории динамических систем, делается упор на качественный анализ систем описаны дифференциальных уравнений, хотя многие численные методы были разработаны для поиска решений с определенной степенью точности.
направлениях учебы
исследование дифференциальных уравнений является широкой областью деятельности в теоретической и прикладной математики, физики,метеорология и инженерии.все эти нормы касаются свойства дифференциальных уравнений различных типов.чистая математика акцентирует внимание на существование и уникальность решений, в то время как прикладной математики подчеркивает строгий обоснование методы до решения.дифференциальных уравнений, играют важную роль в разработке моделей практически все физические,технические или биологического процесса небесных ходатайство, мост, дизайн, взаимодействия между нейронами.дифференциальных уравнений, такие, как те, которые используются для решения реальных проблем, не всегда может быть непосредственно разрешимыми, т.е. не были закрыты формы решения.вместо этого решения могут быть примерно с использованием цифровых методов.
математики также изучить слабые решения (полагаться на слабость производные),