Mathematics and the Worldservative'

Mathematics and the World
servative' answer in philosophy, it may serve to stop any further questions, but it usually leaves a feeling of dissatisfaction.
Then what sort of answer can be given to one who is puzzled about the nature of mathematics? Mathematical propositions are what they are, so any radical answer equating them with something else, such as symbolic rules, or statements of the results of counting and measurement, or of common symbolic usage, will be untrue. Such answers will be untrue, be¬cause the two sides of the equation will have different meanings. Simi¬larly conservative answers will be unhelpful, because the two sides of the equation will have the same meaning. The definiens will be useless, be¬cause it will contain terms which are introduced into the language via the definiendum, and can only be explained in terms of it. It is 'made to measure.' No simple formula will do. The only way of removing the puzzle is to describe the use and function of mathematical propositions in detail and with examples. I shall now try to do this, to some extent, in considering the natural objection to the strictly untrue but illuminating theory: 'Mathematical propositions express rules for the manipulation of symbols.' The objection is that symbolic rules are essentially arbitrary, whereas mathematics does,'to some extent at least, depend not on our choice of symbolic conventions, but on the nature of reality, because only our present system gives useful results when applied to the practical tasks of the world. Against this, I shall maintain that we could use any mathe¬matical rules we liked, and still get on perfectly well in the business of life.
Example 1. 6x4, according to our current multiplication table, equals 24. You might argue: this cannot be merely a conventional rule for our use of symbols, for if it were we could use any other rule we liked, e.g., 6 X 4 r 12, and still get satisfactory results. But if you tried this alterna¬tive rule, you would, in fact, find your practical affairs going all wrong. A builder, for example, having measured a room to be paved with tiles, each one yard square, and having found the length of the sides to be 6 yards and 4 yards, could not use the alternative table. He could not say to himself: 'The room is 6 by 4; now 6 X 4 = 12, so I shall have to get 12 tiles for this job.' For, if he did, he would find he had not enough tiles to cover his floor.
But the builder could quite easily have used an arithmetic in which 6 X 4 = 12, and by measuring and counting could have paved his room perfectly well, with exactly the right number of tiles to cover the floor. How does he do it? Well, he:
(1) Measures the sides, and writes down '4' and '6.'
■v
(2) Multiplies 4 by 6 according to a 'queer' multiplication table which gives 4 X 6 = 12.
1715
(3) Counts out 12 tiles, lays them on the floor. And they fit perfectly.

Результаты (русский) 1:

Математика и мирservative' ответ в философии, он может служить прекратить любые дальнейшие вопросы, но он обычно оставляет чувство неудовлетворенности.Затем какой ответ может дать кто озадачен о характере математики? Математические предложения, какие они есть, поэтому любые радикальные ответ отождествления их с чем-то еще, например символический правил, или заявления о результатах подсчета и измерения, или символического общего пользования, будет неверно. Такие ответы будут ложными, be¬cause двух сторон уравнения будет иметь различные значения. Simi¬larly консервативной ответы будет бесполезным, потому что обе стороны уравнения будет иметь тот же смысл. Definiens будет бесполезно, be¬cause он будет содержать термины, которые вводятся в язык через definiendum и можно объяснить лишь с точки зрения его. Это «сделано для измерения.» Не простая формула будет делать. Единственным способом удаления головоломки является для описания использования и функции математических предложений подробно и с примерами. Я теперь буду пытаться сделать это, в некоторой степени, рассматривая природные возражения в строго соответствует действительности, но освещающие теорию: «математические предложения Экспресс правила для манипулирования символами.» Возражение является то, что символическое правила по сути произвольным, а математика,' в некоторой степени по крайней мере, зависит не на наш выбор символической конвенций, но на природе реальности, потому что только наша нынешняя система дает полезные результаты при применении к практическим задачам мира. Против этого я буду поддерживать, что мы могли бы использовать какие-либо правила mathe¬matical мы любили и до сих пор получить на прекрасно в дело жизни.Example 1. 6x4, according to our current multiplication table, equals 24. You might argue: this cannot be merely a conventional rule for our use of symbols, for if it were we could use any other rule we liked, e.g., 6 X 4 r 12, and still get satisfactory results. But if you tried this alterna¬tive rule, you would, in fact, find your practical affairs going all wrong. A builder, for example, having measured a room to be paved with tiles, each one yard square, and having found the length of the sides to be 6 yards and 4 yards, could not use the alternative table. He could not say to himself: 'The room is 6 by 4; now 6 X 4 = 12, so I shall have to get 12 tiles for this job.' For, if he did, he would find he had not enough tiles to cover his floor.But the builder could quite easily have used an arithmetic in which 6 X 4 = 12, and by measuring and counting could have paved his room perfectly well, with exactly the right number of tiles to cover the floor. How does he do it? Well, he:(1) Measures the sides, and writes down '4' and '6.'■v(2) Multiplies 4 by 6 according to a 'queer' multiplication table which gives 4 X 6 = 12.1715(3) Counts out 12 tiles, lays them on the floor. And they fit perfectly.

Результаты (русский) 2:

Математика и Всемирного
ответ консервативные 'в философии, он может служить, чтобы остановить какие-либо вопросы, но это, как правило, оставляет чувство неудовлетворенности.
Тогда какой ответ может быть дан для того, кто озадачен о природе математики? Математические предложения, каковы они, так что любой радикальный ответ приравнивая их с чем-то еще, например, символических правил, или заявлений о результатах подсчета и измерения, или общего символического использования, будет неправдой. Такие ответы будут неверны, be¬cause обе стороны уравнения будут иметь разные значения. Simi¬larly консервативные ответы будут бесполезны, потому что обе стороны уравнения будет иметь тот же смысл. Дефиниенс будут бесполезны, be¬cause он будет содержать условия, которые вводятся в язык через дефиниендума, и могут быть объяснены только в терминах. Это 'на заказ. Нет простая формула не будет делать. Единственный способ удаления головоломки, чтобы описать использование и функции математических утверждений в деталях и с примерами. Теперь я постараюсь сделать это в какой-то степени, рассматривая естественное возражение строго соответствуют действительности, но осветительного теории: «Математические предложения выражают правила манипуляции с символами. Возражение, что символьные правила, по существу, произвольно, в то время как математика делает, "в какой-то степени, по крайней мере, зависит не от нашего выбора символических конвенций, но на природе реальности, потому что только наша нынешняя система дает полезные результаты, когда применяется к практическим Задачи мире. Против этого, я утверждаю, что мы могли бы использовать какие-либо правила mathe¬matical Нам понравилось, и до сих пор получить на отлично в деловой жизни.
Пример 1. 6x4, в соответствии с нашей текущей таблице умножения, равна 24. Можно возразить,: это не может быть просто обычное правило для нашего использования символов, потому что если бы это было, мы могли бы использовать любое другое правило нам понравилось, например, 6 х 4 R 12, и до сих пор получить удовлетворительные результаты. Но если Вы уже попробовали этот alterna¬tive правило, вы бы, в самом деле, найти свои практические дела происходит все не так. Строитель, например, измерив номер будет вымощена плиткой, каждый двор площадь и, найдя длину стороны к 6 ярдов и 4 ярдов, не может использовать альтернативный стол. Он не мог сказать себе: «Комната 6 на 4; Теперь 6 х 4 = 12, так что я должен иметь, чтобы получить 12 плитки для этой работы. Ибо, если бы он сделал, он бы найти, что он был не достаточно плитки, чтобы покрыть его пол.
Но застройщик вполне могли бы использовать арифметический, в котором 6 х 4 = 12, а путем измерения и подсчета, могли бы проложить свою комнату отлично, с точно правого ряда плиток для покрытия пола. Как он это делает? Ну, он:
(1) меры по бокам, и записывает '4' и '6.'
■ V
(2) умножает 4 на 6 в соответствии с «квир» таблицы умножения, что дает 4 х 6 = 12.
1715
(3 ) отсчитывает 12 плиток, кладет их на пол. И они идеально подходят.

Результаты (русский) 3:

Математика и
servative" ответить на философии, тем не менее, может служить для остановки каких-либо вопросов, но, как правило, он не оставляет чувство неудовлетворенности.
затем какие можно дать ответ, один из которых является выражает недоумение по поводу характера математики? Математические соображения - это то, что они являются, с тем чтобы какие-либо радикальные ответить на приравнивание их на что-либо другое, таких, как символическое правил,