Set theorySet theory is the branch

Set theory
Set theory is the branch of mathematics that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used in the definitions of nearly all mathematical objects.
The modern study of set theory was initiated by Georg Cantor and Richard Dedekind in the 1870s. After the discovery of paradoxes in naive set theory, numerous axiom systems were proposed in the early twentieth century, of which the Zermelo–Fraenkel axioms, with the axiom of choice, are the best-known.
Set theory is commonly employed as a foundational system for mathematics, particularly in the form of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice. Beyond its foundational role, set theory is a branch of mathematics in its own right, with an active research community. Contemporary research into set theory includes a diverse collection of topics, ranging from the structure of the real number line to the study of the consistency of large cardinals.
Some ontology
A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. For example, the set containing only the empty set is a nonempty pure set. In modern set theory, it is common to restrict attention to the von Neumann universe of pure sets, and many systems of axiomatic set theory are designed to axiomatize the pure sets only. There are many technical advantages to this restriction, and little generality is lost, since essentially all mathematical concepts can be modeled by pure sets. Sets in the von Neumann universe are organized into a cumulative hierarchy, based on how deeply their members, members of members, etc. are nested. Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α, known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X.
Axiomatic set theory
Elementary set theory can be studied informally and intuitively, and so can be taught in primary schools using Venn diagrams. The intuitive approach tacitly assumes that a set may be formed from the class of all objects satisfying any particular defining condition. This assumption gives rise to paradoxes, the simplest and best known of which are Russell's paradox and the Burali-Forti paradox. Axiomatic set theory was originally devised to rid set theory of such paradoxes.
Applications
Many mathematical concepts can be defined precisely using only set theoretic concepts. For example, mathematical structures as diverse as graphs, manifolds, rings, and vector spaces can all be defined as sets satisfying various (axiomatic) properties. Equivalence and order relations are ubiquitous in mathematics, and the theory of mathematical relations can be described in set theory.
Set theory is also a promising foundational system for much of mathematics. Since the publication of the first volume of Principia Mathematica, it has been claimed that most or even all mathematical theorems can be derived using an aptly designed set of axioms for set theory, augmented with many definitions, using first or second order logic. For example, properties of thenatural and real numbers can be derived within set theory, as each number system can be identified with a set of equivalence classes under a suitable equivalence relation whose field is someinfinite set.
Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial; mathematicians accept that (in principle) theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. Few full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, however, because such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present. One verification project, Metamath, includes derivations of more than 10,000 theorems starting from the ZFC axioms and using first order logic.
Objections to set theory as a foundation for mathematics
From set theory's inception, some mathematicians have objected to it as a foundation for mathematics. The most common objection to set theory, one Kronecker voiced in set theory's earliest years, starts from the constructivist view that mathematics is loosely related to computation. If this view is granted, then the treatment of infinite sets, both in naive and in axiomatic set theory, introduces into mathematics methods and objects that are not computable even in principle. Ludwig Wittgenstein questioned the way Zermelo–Fraenkel set theory handled infinities. Wittgenstein's views about the foundations of mathematics were later criticised by Georg Kreisel and Paul Bernays, and investigated by Crispin Wright, among others.

Результаты (русский) 1:

Теория множествТеория множеств является отрасль математики, задающий исследования, которые являются коллекциями объектов. Хотя любой тип объекта могут быть собраны в набор, теория множеств чаще всего применяется к объектам, которые имеют отношение к математике. На языке теории множеств может использоваться в определениях почти всех математических объектов.Современные исследования теории множеств был инициирован Георг Кантор и Ричарда Дедекинда в 1870 году. После открытия парадоксов в наивной теории множеств в начале двадцатого века, из которых Аксиоматика аксиом, с аксиома выбора, являются наиболее известными были предложены многочисленные системы аксиом.Теория множеств обычно используется в качестве первичного системы для математики, особенно в виде Аксиоматика теории множеств с аксиомой выбора. Помимо ее фундаментальные роли теория множеств является филиалом математики в своем собственном праве, с активного исследовательского сообщества. Современные исследования в теории множеств включает в себя разнообразную коллекцию темы, начиная от структуры вещественное число линии к изучению последовательности больших кардиналов.Некоторые онтологияНабор чистой, если все его члены являются наборы, наборы, являются все члены его членов и так далее. Например набор, содержащий только пустой набор является набор непустых чистой. В современной теории множеств оно является общим для ограничения внимания к Вселенной фон Неймана чистого наборов, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для axiomatize чистой наборы только. Существует много технических преимуществ этого ограничения, и мало общность теряется, так как по существу все математические концепции могут быть смоделированы по чистой наборов. Наборы в вселенном фон Неймана организованы в совокупный иерархии, основываясь на насколько глубоко вложены их членов, членов членов и т.д.. Каждый набор в этой иерархии (по Трансфинитная рекурсии) назначается порядковый номер α, известный как его ранг. Ранг набор чистой X определяется наименее верхняя граница всех преемников ряды членов X.Аксиоматической теории множествЭлементарной теории множеств может изучаться неофициально и интуитивно и поэтому может преподаваться в начальной школе с использованием диаграмм Венна. Интуитивный подход молчаливо предполагается, что набор может быть сформирована из класса всех объектов, удовлетворяющих любого конкретного определения состояния. Это предположение рождает парадоксы, самым простым и наиболее известными из которых являются парадокс Рассела и Парадокс Бурали-Форти. Аксиоматической теории множеств была первоначально разработана для избавиться от теории множеств таких парадоксов. ПриложенияМногие математические понятия могут быть определены точно с использованием только набор теоретических концепций. Например математических структур, как разнообразны, как графики, коллекторы, кольца и векторных пространств могут все быть определены как наборы, удовлетворяющих различные свойства (разумеется). Эквивалентности и порядок отношений являются вездесущими в математике, и теория математической отношения могут быть описаны в теории множеств.Теория множеств является также перспективным фундаментальные системой для много математики. После публикации первого тома Principia Mathematica, утверждалось, что большинство или даже все математические теоремы могут быть получены с помощью метко разработан набор аксиом для теории множеств, дополненной с много определений, используя первого или второго порядка логики. Например свойства thenatural и действительных чисел могут быть получены в рамках теории множеств, поскольку каждая система счисления может быть отождествлен с набором классов эквивалентности под подходящей отношения эквивалентности, поле которого установлен someinfinite.Теория множеств как основы математического анализа, топология, абстрактная алгебра и дискретная математика также возражения; математиков согласиться, что (в принципе) теоремы в этих областях могут быть получены от соответствующих определений и аксиом теории множеств. Несколько полный язык сложных математических теорем от теории множеств официально подтверждены, однако, потому что такие формальные язык зачастую гораздо дольше, чем на естественном языке доказательств математики обычно присутствует. Один проверки проекта, Metamath, включает в себя язык более чем 10000 теорем, начиная от ZFC аксиом и с помощью логики первого порядка.Возражения против теории множеств как основы математикиС момента создания теории множеств некоторые математиков возражали против его как основы математики. Наиболее распространенные возражения против теории, одна Кронекера, озвучил в теории множеств множеств ранних лет, начинается с конструктивистскими посмотреть, что математика слабо связана с вычислений. Если предоставлено это представление, затем лечение бесконечных множеств, наивный и в аксиоматической теории множеств, вводит математики методы и объекты, которые не являются вычислимой даже в принципе. Людвиг Витгенштейн сомнение способ Аксиоматика теории множеств обрабатываются бесконечности. Витгенштейна мнения о основы математики были позднее критике Георг Kreisel и Paul Bernays и расследуются Криспин Райт, среди других.

Результаты (русский) 2:

Теория множеств
Теория множеств является раздел математики, изучающий наборы, которые коллекции объектов. Хотя любой тип объекта может быть собрана в виде набора, набор теория применяется чаще всего для объектов, которые имеют отношение к математике. Язык теории множеств могут быть использованы в определениях почти всех математических объектов.
Современный изучение теории множеств была инициирована Георга Кантора и Дедекинд в 1870 году. После открытия парадоксов в наивной теории множеств, многочисленные системы аксиом были предложены в начале ХХ века, из которых аксиомы Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, являются самым известным.
Теория множеств обычно используется в качестве основополагающего системы по математике, в частности, в виде множеств Цермело-Френкеля теории с аксиомой выбора. За его основополагающую роль, теория множеств является филиалом математике в своем собственном праве, с активной научно-исследовательского сообщества. Современные исследования в теории множеств включает разнообразную коллекцию тем, начиная от структуры реального числовой прямой к изучению консистенции больших кардиналов.
Некоторые онтологии
Множество чистым, если все его члены являются множества, все члены его членов наборы, и так далее. Например, множество, содержащее только пустое множество является непустым чистым множество. В современной теории множеств, он является общим, чтобы ограничить внимание на фон Неймана вселенной чистых наборов, и многие системы аксиоматической теории множеств разработаны аксиоматизировать только чистые наборы. Есть много технических преимуществ этого ограничения, и мало общность теряется, так как по существу все математические понятия могут быть смоделированы чистых наборов. Наборы во вселенной фон Неймана организованы в кумулятивной иерархии, на основе того, насколько глубоко их члены, члены членов, и т.д. вложены. Каждый набор в этой иерархии назначен (по трансфинитной рекурсии) порядковый номер А, известные как его ранга. Ранг чистой множества X определяется как точная верхняя грань всех наследников рядах членов X.
аксиоматической теории множеств
Теория элементарных набор может быть изучена неофициально и интуитивно, и поэтому может быть преподавал в начальных школах с использованием диаграммы Венна. Интуитивно понятный подход молчаливо предполагается, что набор может быть сформирован из класса всех объектов, удовлетворяющих определенному условию любой определяющим. Это предположение приводит к парадоксам, самый простой и самый известный из которых парадокс Рассела и парадокс Burali-Форти. Аксиоматической теории множеств была первоначально разработана, чтобы избавить теорию множеств таких парадоксов.
Приложения
Многие математические понятия могут быть точно определены только с помощью установленных теоретических концепций. Например, математические структуры, как разнообразны, как графы, коллекторы, кольца, и векторных пространств могут быть определены как множеств, удовлетворяющих различные (аксиоматические) свойства. Эквивалентности и отношения порядка повсеместно в математике, теории математических отношений может быть описано в теории множеств.
Теория множеств также перспективным основополагающим система гораздо математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica, он утверждал, что большинство или даже все математические теоремы могут быть получены с использованием точно разработанный набор аксиом теории множеств, дополненной со многими определениями, используя первую или вторую логику заказа. Например, свойства thenatural и действительных чисел могут быть получены в рамках теории множеств, так как каждый номер системы могут быть определены с набором классов эквивалентности под подходящим отношением эквивалентности, чье поле someinfinite множество.
Теория множеств в качестве основы для математического анализа, топологии , абстрактная алгебра, дискретная математика и является бесспорным также; математики признают, что (в принципе) теоремы в этих областях могут быть получены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Несколько полных дифференцирования сложных математических теорем из теории множеств были формально проверены, однако, что такие формальные выводы зачастую гораздо больше, чем естественный язык доказательств математики обычно присутствует. Один проект по проверке, Metamath, включает в себя дифференцирования более чем 10000 теорем, начиная с аксиом ZFC и с использованием логики первого порядка.
Возражения к теории множеств в качестве основы для математики
с момента создания теории множеств, некоторые математики возразили ему в качестве основы для математики. Наиболее распространенное возражение теории множеств, один Кронекера озвучил в первые годы теории множеств, запускать от конструктивистской точки зрения, что математика является слабо связаны с вычислением. Если эта точка зрения эксплуатацию, то лечение бесконечных множеств, как в наивной и в аксиоматической теории множеств, вводит в методах и объектах, которые не вычислимая даже в принципе математика. Людвиг Витгенштейн поставил под сомнение способ Цермело-Френкеля теории множеств обращаться бесконечности. Просмотры Витгенштейна об основах математики были позже раскритикованы Георгом Kreisel и Павла Бернайсом, и исследованы Криспин Райт, среди других.

Результаты (русский) 3:

это теория
теории множеств является отраслью, математики, что исследования комплектов, которые коллекции предметов.хотя любой объект может быть собрана в комплекс, это теория применяется чаще всего на объекты, которые имеют отношение к математике.язык теории множеств может использоваться для определения почти всех математических объектов.
современные исследования теории множеств был инициирован георг кантор и ричард дедекинд в 1870 - х. после обнаружения парадоксы в наивный теории множеств, многочисленные аксиома систем были предложены в начале хх века, в котором цермело - френкель аксиом, с аксиома выбора, являются наиболее известные.
набор широко используются в качестве теории базовой системы по математике,особенно в виде цермело - френкель теории множеств с аксиома выбора.за пределами своей основополагающей роли, это теория является подразделением математики в свое собственное право, с активной научно - исследовательского сообщества.современные исследования в теории множеств включает в себя разнообразные коллекции темам, варьирующимся от структуры реальное число линии для изучения соответствия крупных кардиналов.
некоторые онтология
набор чиста, если все ее члены являются наборы, всех членов его членами являются наборы, и так далее.например, в котором содержатся лишь пустой комплекс является nonempty чисто.в современной теории, это общее внимание лишь на фон неймана вселенной чистой наборы, и многие системы аксиома теории множеств предназначены для axiomatize чисто устанавливает только.многие технические преимущества такого ограничения, и мало общего, теряется, поскольку, по сути, математические понятия можно смоделировать чисто наборов.наборы в фон неймана вселенной организованы в общей иерархии, в зависимости от того, насколько глубоко их членов, членов, членов и т.д., вложенные.каждый в этой иерархии (transfinite присваивается порядковый номер α, р.)