The study of knots offers another b

The study of knots offers another beautiful example of passive effectiveness. Mathematical knots are similar to everyday knots, except that they have no loose ends. In the 1860s Lord Kelvin hoped to describe atoms as knotted tubes of ether. That misguided model failed to connect with reality, but mathematicians continued to analyze knots for many decades merely as an esoteric arm of pure mathematics. Amazingly, knot theory now provides important insights into string theory and loop quantum gravity—our current best attempts at articulating a theory of spacetime that reconciles quantum mechanics with general relativity.�� � � � � � Similarly, English mathematician Hardy’s discoveries in number theory advanced the field of cryptography, despite Hardy’s earlier proclamation that “no one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers.” And in 1854 Bernhard Riemann described non-Euclidean geometries—curious spaces in which parallel lines converge or diverge. More than half a century later Einstein invoked those geometries to build his general theory of relativity.
A pattern emerges: humans invent mathematical concepts by way of abstracting elements from the world around them—shapes, lines, sets, groups, and so forth—either for some specific purpose or simply for fun. They then go on to discover the connections among those concepts. Because this process of inventing and discovering is man-made—unlike the kind of discovery to which the Platonists subscribe—our mathematics is ultimately based on our perceptions and the mental pictures we can conjure. For instance, we possess an innate talent, called subitizing, for instantly recognizing quantity, which undoubtedly led to the concept of number. We are very good at perceiving the edges of individual objects and at distinguishing between straight and curved lines and between different shapes, such as circles and ellipses—abilities that probably led to the development of arithmetic and geometry. So, too, the repeated human experience of cause and effect at least partially contributed to the creation of logic and, with it, the notion that certain statements imply the validity of others.

Результаты (русский) 1:

Изучение узлов предлагает еще один прекрасный пример пассивного эффективности. Математические knots похожи на повседневной сучки, за исключением того, что у них нет свободных концов. В 1860 году лорд Кельвин надеется для описания атомов как узловатые трубки эфира. Это заблуждение модель не удалось соединиться с реальностью, но математиков, продолжали анализировать knots на протяжении многих десятилетий просто как эзотерические arm чистой математики. Удивительно, теории узлов теперь предоставляет важную информацию в строку теории и петля квантовой гравитации — Наши текущие лучшие попытки формулирование теории spacetime, которая примиряет квантовой механики с общей теорией относительности. Аналогичным образом, английский математик Харди открытий в теории чисел расширенный области криптографии, несмотря на Харди ранее объявления, что «никто еще не обнаружил любых воинственных целей обслуживаться теория чисел.» И в 1854 году Бернхард Риман описал неевклидовой геометрии — любопытно пространств, в которых параллельные линии сходятся или расходятся. Более чем половины столетия позже Эйнштейн вызывается этих геометрий построить его общей теории относительности.Возникает модель: люди изобретают математических понятий посредством абстрагирования элементы от мира вокруг них — фигуры, линии, наборы, групп и так далее — для какой-либо конкретной цели или просто для удовольствия. Затем они идут обнаружить соединения между этими концепциями. Потому что этот процесс изобретения и открытия, сделанные человеком — в отличие от рода открытий, к которому неоплатоники подписаться — наши математики в конечном счете основывается на наше восприятие и психического фотографии, мы можем колдовать. К примеру мы обладаем врожденный талант, называемый subitizing, мгновенно признания количество, которое несомненно привели к концепции числа. Мы очень хорошо воспринимаю края отдельных объектов и на различия между прямыми и изогнутыми линиями и различные формы, такие как круги, эллипсы, способности, которые вероятно привело к развитию арифметики и геометрии. Таким образом тоже, неоднократные человеческого опыта, причины и следствия по крайней мере частично способствовали созданию логики и с ним, понятие, что определенные заявления подразумевают действия других людей.

Результаты (русский) 2:

Изучение узлов предлагает другой прекрасный пример пассивной эффективности. Математические узлы похожи на повседневной узлов, кроме того, что они не имеют концы. В 1860-х годах лорд Кельвин надеялся описать атомы, как узловатые труб эфира. Это заблуждение модель не удалось подключиться с реальностью, но математики продолжали анализировать узлы для многих десятилетий лишь в качестве эзотерического руку чистой математики. Удивительно, теория узлов в настоящее время обеспечивает важные идеи в теории струн и петлевой квантовой гравитации, наших текущих лучших попыток формулирования теории пространства-времени, что примиряет квантовую механику с общей теорией относительности. Точно так же, открытий английский математик Харди в теории чисел расширенный поле криптографии, несмотря на ранее провозглашения Харди, что "никто не еще ​​обнаружил любой воинственный цель быть подан теории чисел." И в 1854 году Бернхард Риман описано неевклидовы геометрии-любопытные пространства, в которых параллельные линии сходятся или расходятся , Более полувека спустя Эйнштейн вызывается эти геометрии построить общую теорию относительности.
Шаблон возникает: люди изобретают математические понятия путем абстрагирования элементы из мира вокруг них-формы, линии, комплекты, группы и так далее, либо по какой-то конкретной цели или просто для удовольствия. Затем они идут дальше, чтобы узнать о связи между этими понятиями. Поскольку этот процесс изобретать и открывать рукотворный, в отличие от вида открытия, к которым платоников подписаться-наши математики в конечном счете основывается на наших восприятий и мысленных мы можем колдовать. Например, у нас есть врожденный талант, под названием subitizing, для мгновенно признавая количества, которые, несомненно, привело к понятию числа. Мы очень хорошо воспринимать края отдельных объектов и в различении прямых и изогнутых линий, а также между различными формами, такими как круги и эллипсы-способностей, которые, вероятно, привели к разработке арифметики и геометрии. Так, слишком, повторное человеческий опыт причины и следствия, по крайней мере, частично способствовали созданию логики, а с ней, понятие, что некоторые утверждения следует справедливость других.

Результаты (русский) 3:

Изучение узлов предлагает еще один красивый пример пассивной эффективность. Математические узлов, аналогичны повседневной узлов, за исключением того, что они не имеют свободные концы. В 1860-х годах лорда Кельвина надеется опишите атомов, фонды Рэм трубки вспомогательное устройство пуска с эфиром. рвение, модель не удалось подключиться с реальностью,Но математиков продолжало анализировать узлов на протяжении многих десятилетий лишь в качестве клясться рычага чистой математики. Поразительно, Спеньера теперь предоставляет важные аспекты теории струн и контур квантовой теории гравитации нашей нынешней наилучшим образом попытки формирования теории искривленном пространстве, согласует квантовой механики с общей теории относительности.Кроме того,Английский математик Харди, открытия в теории чисел в области криптографии, несмотря на Харди, ранее объявлением о том, что "никто еще не обнаружили каких-либо военных целей, теории чисел." и в 1854 году Бернхарда Римана тривиальному описание геометрии - любопытный пространствах, в которых параллельные линии сходятся или расходятся.Более половины столетия позже Эйнштейн ссылаться на эти геометрические элементы для создания его общей теории относительности.
A модель: люди изобретают математические понятия в крайних случаях элементов в мире вокруг них, формы, линии, устанавливает, групп и т.д - либо для некоторых конкретных целей или просто для развлечения. Они затем переходите к откройте для себя цепями среди этих концепций.Потому, что этот процесс изобрести и обнаружения человека, в отличие от своего рода discovery, для которой Platonists подписаться на наши математики в конечном счете на основе наших представлений и психического снимков мы можем встречаюсь. Например, мы обладают врожденным талантом, называемых subitizing, мгновенно признавая количество, который, несомненно, привело к концепции.Мы это очень хорошо воспринимает края отдельных объектов и в проведении различий между прямых и криволинейных линий и между разных форм, таких, как круги, эллипсы и способности, вероятно, привело к развитию арифметических и геометрии. Да, слишком, неоднократные человеческого опыта и причиной, и следствием по крайней мере частично внесла свой вклад в создание логики и, соответственно,Понятие о том, что некоторые заявления действительности.