“ELLIPSE”, “HYPERBOLA”The evolution

“ELLIPSE”, “HYPERBOLA”
The evolution of our present–daymeanings of the terms “ellipse”, “hyperbola”, and “parabola” may be understood by studying the discoveries of history’s great mathematicians. As with many other words now in use, the original application was different from the modern.
Pythagoras (c.540 B.C.), or members of his society, first used these terms in connection with a method called the “application of areas”. In the course of the solution (often a geometric solution of what is equivalent to a quadratic equation) one of three things happens: the base of the constructed figure either falls short of, exceeds, or fits the length of a given segment. (Actually, additional restrictions were imposed on certain of the geometric figures involved.) These three conditions were designated as ellipsis “defect”, hyperbola “excess” and parabola “a placing beside”. It should be noted that the Pythagoreans were not using these terms in reference to conic sections.
In the history of conic sections, Menaechmus (350 B.C.), a pupil of Eudoxus, is credited with the first treatment of conic sections. Menaechmus was led to the discovery of the curves of conic sections by a consideration of sections of geometrical solids. Proclus in his summary reported that the three curves were discovered by Menaechmus; consequently, they were called the “Menaechmian triads”. It is thought that Menaechmus discovered the curves now known as the ellipse, parabola and hyperbola by cutting cones with planes perpendicular to an element and with the vertex angle of the cone being acute, right or obtuse respectively.
The fame of Apollonius (c.225 B.C.) rests mainly on his extraordinary conic sections. This work was written in eight books, seven of which are presented. The work of Apollonius on conic sections differed from that of his predecessors in that he obtained all of the conic sections from one right double cone by varying the angle at which the intersecting plane cuts the element.
All of Apollonius’s work was presented in regular geometric form, without the aid of algebraic notation of present day analytical geometry. However, his work can be described more easily by using modern terminology and symbolism. If the cone is referred to a rectangular coordinate system in the usual manner with point A as the origin and with (x,y ) as coordinates of any points P on the cone, the standard equation of the parabolay2 =px (wherep is the length of the latus rectum, i.e. the length of the chord that passes through a focus of the conic perpendicular to the principal axis) is immediately verified.
The three adjectives “hyperbolic”, “parabolic”, and
“elliptic” are encountered in many places in maths, including projective geometry and non–Euclideangeometries. Often they are associated with the existence of exactly two, one, or more of something of particular relevance. The relationship arises from the fact that the number of points in common with the so called line at infinity in the plane for the hyperbola, parabola and ellipse is two, one and zero respectively.

Результаты (украинский) 1:

«ЕЛІПС", «ГІПЕРБОЛА»Еволюції нашого сьогодення – daymeanings терміни "Еліпс", "гіпербола" та "Парабола" можуть бути зрозумілі, вивчаючи відкриттів в історії великі математики. Як і в багатьох інших слів, зараз у використанні, оригінальним нанесенням відрізнялася від модерну.Піфагор (c.540 рр.), або членів його суспільства, вперше використаний ці терміни у зв'язку з методу, званого "застосування областях". В ході рішення (часто геометричної розчину що еквівалентно квадратне рівняння) одну з трьох речей відбувається: база побудована діяч падає вистачало, перевищує або відповідає довжині даного сегменту. (Насправді, додаткові обмеження були введені також на визначених геометричних фігур, залучених.) Ці три умови були призначений три крапки "дефект", гіпербола "надлишок" та Парабола "за розміщення поруч". Слід зазначити, що Піфагорійці не використовували ці терміни у зв'язку з конічні розділів.В історії конічні розділи Menaechmus (350 рр.), учень ще, приписують першої процедури конічні розділів. Menaechmus під керівництвом до відкриття криві конічні розділи розгляду розділи геометричних твердих тіл. Прокл Болонський у своєму резюме повідомив, що три криві були виявлені Menaechmus; як наслідок, вони називалися "Menaechmian тріади". Вважається, що Menaechmus виявив кривих, що зараз відомо як Еліпс, параболи та гіпербола конусів різання з площинами перпендикулярно до елемента і вершини кутів конуса, будучи гострий, права або тупі, відповідно.Слави Аполлоній (c.225 рр.) лежить в основному на його надзвичайні конічні розділів. Ця робота була написана у восьми книг, сім з яких представлені. Робота Аполлоній по конічні розділи відрізнялися від своїх попередників, в тому, що він отримав усіх розділів конічні від одного прямо подвійного конуса варіюючи кут, при якій січну площину ріже елемент.Всі Аполлоній, робота була представлена у звичайні геометричні форми, без допомоги алгебраїчної нотації сьогоднішній день аналітичної геометрії. Тим не менш, його робота може бути охарактеризована більш легко за допомогою сучасних термінології та символізму. Якщо конуса, називається система rectangular координат у звичному порядку з точки, А як походження і з (x, y) координати будь-яких точках P по конуса, стандартний рівняння на parabolay2 = px (wherep дорівнює довжині latus прямої кишки, тобто по довжині акорд, що проходить через фокус на конічні перпендикулярно до основної осі) негайно перевіряється.Три прикметників "гіперболічний", "параболічного", і"еліптичних" зустрічаються в багатьох місцях в математику, включаючи Проективна геометрія та -Euclideangeometries. Часто вони асоціюються з існування рівно два, один або більше щось особливе значення. Відносини, що випливає з того факту, що кількість балів спільного з так званої лінії на нескінченності на площині за гіпербола, параболи та еліпс є два, один і нульовий відповідно.

Результаты (украинский) 2:

"Еліпс", "гіпербола"
Еволюція наших сучасних daymeanings термінів "еліпса", "гіперболою", і "параболи" можна розуміти, вивчаючи відкриття великих математиків в історії. Як і з багатьма іншими словами тепер у використанні, оригінальну програму відрізняється від сучасного.
Піфагора (c.540 до н.е.), або членів його суспільства, вперше використав ці терміни у зв'язку з методом під назвою "застосування областей". В ході рішення (часто геометричне рішення , що еквівалентно квадратного рівняння) одну з трьох речей відбувається: підстава побудованої фігури або НЕ дотягує, перевищує або відповідає довжині даного сегмента. ( На насправді, додаткові обмеження були накладені на деякі з геометричних фігур , які беруть участь.) Ці три умови були позначені як три крапки "дефект", гіперболи "надлишкового" і параболи "а розміщення поруч". Слід зазначити , що піфагорійці не використали ці терміни стосовно конічних перетинах.
В історії конічних перетинів, Менехм (350 до н.е.), учень Евдокса, приписують першої обробки конічних перетинів. Менехм був привели до відкриття кривих конічних перетинів з допомогою розгляду перетинів геометричних тел. Прокл в своєму резюме повідомив , що три криві були виявлені Менехм; отже, вони були названі "Menaechmian тріади". Вважається , що Менехм виявив криві тепер відомий як еліпс, парабола і гіпербола розрізанням конуси з площинами , перпендикулярними до елементу і з кутом при вершині конуса бути гострим, прямо або тупі відповідно.
Слава Аполлонія (c.225 до н.е.) спирається в основному на його незвичайних конічних перетинів. Ця робота була написана в восьми книгах, сім з яких представлені. Робота Аполлонія на конічних перетинів відрізнявся від своїх попередників тим , що він отримав всі конічних перетинів від одного правого подвійного конуса, змінюючи кут , під яким січна площина відтинає елемент.
Вся робота Аполлонія була представлена ​​в правильної геометричної форми , без допомоги алгебраїчних позначень нинішнього дня аналітичної геометрії. Тим НЕ менше, його робота може бути описана більш легко з використанням сучасної термінології та символіки. Якщо конус називається прямокутної системі координат звичайним чином з точки А в якості початку координат , і з (х, у) в якості координат будь-якої точки Р на конусі, стандартне рівняння parabolay2 = рх (де р є довжина з LATUS прямої кишки, тобто довжина хорди, що проходить через фокус конічна перпендикулярно до головної осі) перевіряється безпосередньо.
три прикметники "гіперболічний", "параболічної", і
"еліптичний" зустрічаються в багатьох місцях математики, в тому числі проективної геометрії і не-Euclideangeometries. Часто вони пов'язані з існуванням рівно два, один або більше ніж - то особливе значення. Відносини виникає з того факту , що число спільних точок з так званої лінії на нескінченності в площині для гіперболи, параболи і еліпса два, один і нуль відповідно.

Результаты (украинский) 3:

%%20перших%20використовується%20ці%20умови%20в 20-20%підключення з 20%20а%20метод%20назвав%20в%20%E2%80%9 Capplication%20з 20% площ%E2%80%9D%20в 20-20-20, 20 курсу%20з 20% до 20% розчином%20(часто%20а%20геометричні%20рішення%20з 20%, що%20є%20еквівалент%20до%20а%20квадратичного%20рівнянні)%20один%20з 20%3%20речі%20буває:%20в%20base%20з 20% до 20% побудованого%20графік%20або%20падає%20короткі%20В, 20% перевищує 20% або%20підходить%20в%20довжиною 20% від%20а%20з огляду%20сегменті.%20(власне,%%20є%20кредитуються%20з%20в%20перших%20лікування%20з 20% конічну%20 розділів.%20Menaechmus%20був%20призвело%20до 20% у 20% discovery%20з 20% до 20% криві%20з 20% конічну%20 секцій%20за%20а%20розгляд%20з 20% розділи%20з 20% геометричні%20твердих тіл.%20Proclus%20в 20-20%його 20 узагальнені%20повідомив%20,%20в%20три%20криві%20були%20виявили%20за 20% Menaechmus;%20відповідно, 20% вони%20були%20назвав%20в%20%E2%80%9 CMenaechmian%20вони мають повну тріаду%E2%80%9D.%%20В%20Праця%20з 20% Apollonius%20на 20%конічну%20 секцій%20відрізнявся%20від 20%, що%20з 20% його%20попередників%20в 20-20-20, 20, 20% отримали%20всі%20з 20% до 20% конічну%20 секцій%20від 20% один%20право%20подвійних%20конус%20за 20% різної%20в%20кута%20о 20%яких%20в%20перетинаючись%20літак%20зменшує%20в%20елемент.%5 EAll%20з 20% Apollonius%E2%80%99s%20Праця%20був%20представив%20в 20-20%регулярних 20геометричні%20форму,%20без%20в%20допомоги%20з 20% алгебраїчних%20нотації%20з 20% присутніх%20день%20аналітичні%20геометрії.%20 Однак%20його%20Праця%20може%20бути%20описано%20більш%20легко%20за 20% за допомогою%20сучасних%20термінології%20а%20символізм.%20Якщо%20в%20конус%20є%20називають%20до%20а%20прямокутні%20координувати%20система%20в 20-20-20, 20 звичайних%20манері%20з%20точки%20А%20а%20в%20походження%20а%20з%20(x,y%20)%20а%20координати%20з 20% будь-яких%20 очок%20P%20на 20%в%20конус,%20в%20стандарт%20рівняння%20з 20% до 20%2 parabolay%20=px%20(wherep%20є%20в%20довжиною 20% з 20% до 20% latus%20прямої кишки,%20тобто%%20або%20більш%20з 20% щось%20з 20% особливу%20актуальність.%20В%20відносини%20виникає%20від 20% до 20% того%20,%20в%20числа%20з 20% пунктів%20в 20-20%спільні з 20%20в%20так%20назвав%20лінії%20о 20%нескінченність%20в 20-20-20, 20 літака%20для%20в%20hyperbola,%20parabola%20а%20еліпс%20є%20два,%20один%20а%20нуль%20відповідно.%5Е%5E