Algebraic number theoryAn algebraic

Algebraic number theory
An algebraic number is any complex number that is a solution to some polynomial equation with rational coefficients; for example, every solution of (say) is an algebraic number. Fields of algebraic numbers are also called algebraic number fields, or shortly number fields. Algebraic number theory studies algebraic number fields. Thus, analytic and algebraic number theory can and do overlap: the former is defined by its methods, the latter by its objects of study.It could be argued that the simplest kind of number fields (viz., quadratic fields) were already studied by Gauss, as the discussion of quadratic forms in Disquisitiones arithmeticae can be restated in terms of ideals and norms in quadratic fields. (A quadratic field consists of all numbers of the form , where and are rational numbers and is a fixed rational number whose square root is not rational.) For that matter, the 11th-century chakravala method amounts—in modern terms—to an algorithm for finding the units of a real quadratic number field. However, neither Bhāskara nor Gauss knew of number fields as such.The grounds of the subject as we know it were set in the late nineteenth century, when ideal numbers, the theory of ideals and valuation theory were developed; these are three complementary ways of dealing with the lack of unique factorisation in algebraic number fields. (For example, in the field generated by the rationals and , the number can be factorised both as and ; all of , , and are irreducible, and thus, in a naïve sense, analogous to primes among the integers.) The initial impetus for the development of ideal numbers (by Kummer) seems to have come from the study of higher reciprocity laws, i.e., generalisations of quadratic reciprocity.
Number fields are often studied as extensions of smaller number fields: a field L is said to be an extension of a field K if L contains K. (For example, the complex numbers C are an extension of the reals R, and the reals R are an extension of the rationals Q.) Classifying the possible extensions of a given number field is a difficult and partially open problem. Abelian extensions—that is, extensions L of K such that the Galois group Gal(L/K) of L over K is an abelian group—are relatively well understood. Their classification was the object of the programme of class field theory, which was initiated in the late 19th century (partly by Kronecker and Eisenstein) and carried out largely in 1900—1950.
An example of an active area of research in algebraic number theory is Iwasawa theory. The Langlands program, one of the main current large-scale research plans in mathematics, is sometimes described as an attempt to generalise class field theory to non-abelian extensions of number fields.

Результаты (русский) 1:

Теория алгебраических чиселАлгебраическое число является любое комплексное число, которое представляет собой решение для некоторых полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами; Например, каждое решение (скажем) — алгебраическое число. Поля алгебраических чисел также называют алгебраическое число полей, или вскоре числовых полей. Алгебраической теории чисел изучает поля алгебраических чисел. Таким образом, аналитическая и алгебраической теории чисел можно и перекрываются: бывший определяется его методами, последний ее объектами исследования.Можно утверждать, что простейший вид числовых полей (viz., квадратичного поля) уже были изучены Гаусса, как обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae может быть перезапущен с точки зрения идеалов и норм в квадратичной области. (Квадратичного поля состоит из всех чисел, формы, где и рациональных чисел и является фиксированной рациональное число, квадратный корень которого не является рациональным.) На то пошло, chakravala 11-го века метод суммы — в современных условиях — алгоритм для нахождения единиц реальной квадратичной числового поля. Однако ни Bhāskara, ни Гаусс знал числовых полей как таковой.Территории субъекта как мы знаем, были установлены в конце девятнадцатого века, когда были разработаны идеальных чисел, теория идеалов и теории оценки; Это три взаимодополняющие способы борьбы с отсутствием уникальных факторизации в поля алгебраических чисел. (За, например, в поле, создаваемое рационалов и числа можно factorised как как и; все,, и неизбежное и таким образом, в смысле наивный, аналогично простых чисел среди целых чисел.) Первоначальный импульс для развития идеальных чисел (по Куммер), кажется, пришли из исследования высших законов взаимности, т.е. обобщения квадратичных взаимности.Числовые поля часто изучаются как расширения меньших числовых полей: поле L считается расширение поля K Если L содержит K. (например, комплексных чисел C являются расширением вещественных чисел R, и вещественных чисел R являются расширением рационалов Q). Классификация возможных расширений заданного числового поля является сложной и частично открыть проблема. Абелевых расширений — то есть, расширения L K такие, что Галуа группы Gal(L/K) L над K является абелевой группы — относительно хорошо известны. Их классификация был объект программы теории поля класса, который был инициирован в конце XIX века (частично Кронекера и Эйзенштейн) и осуществляется в основном в 1900 — 1950.Пример активной областью исследований в алгебраической теории чисел — теорию Ивасава. Лэнглэндс программы, одной из основных текущих планов крупномасштабных исследований в математике, иногда описывается как попытка обобщить теория полей классов не абелевых расширений числовых полей.

Результаты (русский) 2:

Алгебраическая теория чисел
алгебраических чисел любое комплексное число, что является решением некоторого многочлена уравнения с рациональными коэффициентами; Например, каждое решение (скажем) является алгебраическое число. Поля алгебраических чисел также называют полей алгебраических чисел или вскоре числовых полей. Алгебраические исследования теории чисел полей алгебраических чисел. Таким образом, аналитическая и алгебраическая теория чисел может и не перекрываются: Первый определяется ее методами, последний его объектов study.It можно утверждать, что простой вид числовых полей (а именно, квадратичные поля.) Уже изучены Гаусс, как обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae можно переформулировать в терминах идеалов и норм в квадратичных полях. (Квадратичное поле состоит из всех чисел вида, где и рациональные числа и является фиксированной рациональное число, квадратный корень которого не является рациональным.) Для этого вещества, суммы в метод chakravala 11-го века современных условиях, с алгоритмом для нахождения единиц вещественного квадратичного поля номера. Тем не менее, ни Бхаскара ни Гаусс знал числовых полей как such.The основании вопросу, как мы знаем, он был установлен в конце девятнадцатого века, когда идеальных чисел, были разработаны теория идеалов и теории оценки; это три взаимодополняющих способа борьбы с отсутствием уникальной множители в полях алгебраических чисел. (Например, в поля, генерируемого рациональные и, номер может быть факторизуется и как и; все, и не сводимы, и, таким образом, в наивной смысле, аналогично простых чисел среди целых чисел). Первоначальный импульс Развитие идеальных чисел (Куммером), кажется, пришли из исследования высших законов взаимности, т.е. обобщений квадратичной взаимности.
поля Количество часто изучаются в качестве расширения мелких числовых полей: поле L называется расширением Поле К, если L содержит К. (Например, комплексные числа C являются продолжением вещественных чисел R, и вещественные числа R являются продолжением рациональных Q.) классификации возможных расширений заданного числа поля трудно и частично открытой проблемой. Абелевы расширения, то есть расширения L поля К, что группа Галуа Gal (L / K) из L над К абелева группа, относительно хорошо изучены. Их классификация была объектом программы теории полей классов, который был инициирован в конце 19-го века (частично Кронекером и Эйзенштейна) и осуществляется в основном в 1900-1950.
пример активной областью исследований в алгебраической теории чисел является Теория Ивасава. Программа Ленглендса, одним из главных действующих исследовательских планов масштабных работ в области математики, иногда описывается как попытка обобщения теории полей классов для неабелевых расширений числовых полей.

Результаты (русский) 3:

алгебраической теории чисел
алгебраическое число - каких-либо сложных номер, - это решение, которое некоторые полиномиального уравнения с рациональным коэффициентов; например, для каждого решения (сказать) - это алгебраические числа. Поля алгебраических чисел, также называемых алгебраических номер поля, или в скором времени число полей. алгебраической теории чисел исследований числовыми полями. Таким образом,Аналитические и алгебраической теории чисел может и не пересекаются: бывшая определяется его методов работы, в последнем случае ее объекты исследования.можно было бы утверждать, что самый простой вид полей (т.е. квадратичных полей) уже были изучены ГС, как обсуждение вопроса о квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae могут быть переработаны с точки зрения идеалов и норм в квадратичных полей.(А квадратное поле состоит из всех номеров в форме , где и рациональных чисел и является фиксированной рациональное число, квадратный корень не рационального.) в данном случае, 11-го века chakravala метод суммы - в современных условиях и на алгоритм для нахождения подразделения реального квадратное поле номер. Тем не менее ни Bhāskara ни Гс знали номер поля.На территории области, как мы знаем, что это было в конце XIX века, когда идеально подходит, номера теории идеалов и оценки теории, трех взаимодополняющих способов борьбы с отсутствием уникальный Грина колебательной подсистемы в алгебраической номер поля. (Например, в области генерируется подковы Смейла и , номер может быть factorised как и и все , ,и теория принадлежит, и, таким образом, в один цент смысле, аналогичных наполняет среди целых чисел.) первоначальный толчок для развития идеально подходит номера (на Куммер) как представляется, из исследования высшего принципа взаимности, т.е. , обобщения квадратного взаимности.
номер поля часто изучаются как расширений меньшего числа поля:Поле L является расширение поля K если L содержит K. (например, в комплексных чисел C продление реалы R, и реалы R - это продление подковы Смейла Q. ) классификации возможных расширений заданного числа поле является сложной и частично открытые проблемы. абелевых расширений,Extensions L K таким образом, что Галуа гал(L/K) L через K абелевой группы, относительно хорошо. Их классификация программа класса теория поля, которое было начато в конце 19-го века (частично в одномерной колебательной и Эйзенштейна) и осуществляются в основном в 1900-1950 году.
Примером активной области исследований в алгебраической теории чисел является Ивасава теории. В gl программы одна из главных нынешних крупных научно-исследовательских планов в области математики, иногда как попытка обобщить класс теория поля для абелевых расширений.