A MATHEMATICAL SCIENCEThe notion of

A MATHEMATICAL SCIENCE
The notion of a class of objects is fundamental in logic and therefore in any mathematical science. The objects which make up the class are called the elements of the class. The notion of a class, moreover, and the relation of belonging to a class (being included in a class, being an element of a class, etc.) are primitive notions of logic, the meaning of which is not here called in question.
The developments of the preceding section may now be illustrated and other important conceptions introduced by considering a simple example of a mathematical science. To this end let S be a class, the elements of which we will denote by A, B, C, . . , Further, let there be certain undefined subclasses of S, any one of which we will call an m-class. Concerning the elements of S and the m-classes we now make the following
Assumptions:
I. If A and B are distinct elements of S, there is at least one m-class containing both A and B.
II. If A and B are distinct elements of S, there is not more than one m-class containing both A and B.
III. Any two m-classes have at least one element of S in common.
IV. There exists at least one m-class.
V. Every m-class contains at least three elements of S.
VI. All the elements of S do not belong to the same m-class.
VII. No m-class contains more than three elements of S.
The reader will observe that in this set of assumptions we have just two undefined terms, viz., element of S and m-classy and one undefined relation, belonging to a class. The undefined terms, moreover, are entirely devoid of content except such as is implied in the assumptions.
Now the first question to ask regarding a set of assumptions is: Are they logically consistent? In the example above, of a set of assumptions, the reader will find that the assumptions are all true statements, if the class S is interpreted to mean the digits 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 and the m-classes to mean the columns in the following table:
0 1 2 3 4 5 6
(1) 1 2 3 4 5 6 0
3 4 5 6 0 1 2
This interpretation is a concrete representation of our assumptions. Every proposition derived from the assumptions must be true of this system of triples. Hence none of the assumptions can be logically inconsistent with the rest; otherwise contradictory statements would be true of this system of triples.
Thus, in general, a. set of assumptions is said to be consistent if a single concrete representation of the assumptions can be given.
Knowing our assumptions to be consistent, we may proceed to derive some of the theorems of the mathematical science of which they are the basis:
Any two distinct elements of S determine one and only one m-class containing both these elements (Assumptions I, II).
The m-class containing the elements A and В may conveniently be de-noted by the symbol AB.
Any two m-classes have one and only one element of S in common (Assumptions II, III).
There exist three elements of S which are not all in the same m-class (Assumptions IV, V, VI).
In accordance with the last theorem, let A, E, С be three elements of S not in the same m-class. By Assumption V there must be a third element in each of the m-classes А В, ВС, CA, and by Assumption II these elements must be distinct from each other and from A, E, and C. Let the new elements be D, E, G, so that each of the triples ABD, ВСЕ, С AG belongs to the same m-class. By Assumption III the m-classes AE and EG, which are distinct from all the m-classes thus far obtained, have an element of S in common, which, by Assumption II, is distinct from those hitherto mentioned; let it be denoted by F, so that each of the triples AEF and BFG belong to the same m-class. No use has as yet been made of Assumption VII. We have, then, the theorem:

Результаты (русский) 1:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИПонятие класса объектов является основополагающим в логике и поэтому в любой математической науки. Элементы класса называются объекты, которые составляют класс. Примитивные понятия логики, смысл которого является здесь не ставят под сомнение понятие класса, Кроме того и отношение принадлежности к классу (включаются в классе, являясь элементом класса и др.). Теперь события предыдущего раздела может быть иллюстрированный и другие важные концепции, представил, рассматривая пример простой математической науки. С этой целью Пусть S будет класс, элементы которого мы будет обозначить A, B, C,. . , Кроме того, пусть там быть некоторые неопределенные подклассы S, один из которых мы будем называть m класса. Что касается элементов S и m классов мы сейчас сделать следующиеПредположения:I. Если A и B являются различающиеся элементы S, есть по крайней мере один m класса, содержащий как A и B.II. Если A и B являются различающиеся элементы S, есть не более чем один m класса, содержащий как A и B.III. любые два м класса имеют по крайней мере один элемент S в общем.IV. существует по крайней мере один m класса.V. каждый м класса содержит по крайней мере три элемента S.VI. все элементы S не принадлежат к одному m классу.VII. не m класса содержит более трех элементов S.Читатель будет наблюдать, что в этом наборе предположения у нас только два неопределенных терминов, viz., элемент S и m стильный и один неопределенные отношения, принадлежащих к классу. Неопределенные условия, Кроме того, полностью лишенный содержания, за исключением таких, как подразумевается в предположениях.Теперь, первый вопрос, чтобы спросить о набор предположений: являются ли они логически последовательной? В примере выше, из набора предположений, читатель найдет что предположения, все истинные утверждения, если класс S интерпретируется означает цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 и m классов означает столбцы в таблице ниже:0 1 2 3 4 5 6(1) 1 2 3 4 5 6 03 4 5 6 0 1 2Такое толкование является конкретное представление наших предположений. Каждое предложение, производный от предположений должно быть правдой этой системе троек. Следовательно, ни одно из предположений может быть логически несовместимым с остальными; в противном случае противоречивые заявления будет верно этой системе троек.Таким образом в целом, а набор предположений, что быть последовательным, если можно дать единственное представление конкретных предположений.Зная наши предположения, чтобы быть последовательными, мы можем приступить к получить некоторые из теоремы математической науки, из которых они являются основой:Любые два отдельных элементов S определяют один и только один m класс, содержащий оба эти элементы (предположения I, II).M класс, содержащий элементы A и В удобно можно снять отметить символом AB.Любые два м класса имеют один и только один элемент S общее (предположения II, III).Существует три элемента S, которые не все в том же м классе (предположения IV, V, VI).В соответствии с последней теоремы, А, Е, С пусть будет три элемента S не в том же м класса. На предположение V должен быть третий элемент в каждом из m классы А В, ВС, Калифорния, и на предположение II эти элементы должны быть различны друг от друга и от A, E и C. Пусть новые элементы D, E, G, так что каждый из тройки Абд, ВСЕ, С AG принадлежит к одному m классу. Предположением III m классы AE, и например, которые отличаются от всех m классов до настоящего времени получены, имеют элемент S в общем, который, предположение II, отличается от тех, кто до сих пор упоминается; Пусть он обозначается F, таким образом, чтобы каждый из троек АЭФ и BFG принадлежат же м класса. Пока еще не достигнут из VII предположение. У нас есть, затем, Теорема:

Результаты (русский) 2:

Математическая наука
Понятие класса объектов является фундаментальным в логике и, следовательно, в любой математической науки. Объекты, которые составляют класс называются элементы класса. Понятие класса, кроме того, и отношение принадлежности к классу (включаются в классе, будучи элементом класса, и т.д.) являются примитивными понятиями логики, смысл которых не здесь под вопросом.
Разработки в предыдущем разделе, могут быть проиллюстрировано и другие важные понятия введены с учетом простой пример математической науки. Для этого давайте быть класс, элементы которого мы будем обозначать через A, B, C,. , , Кроме того, пусть быть определенные неопределенные подклассы S, каждый из которых мы назовем М-класс. Относительно элементы S и M-классов мы теперь делают следующие
предположения:
I. Если А и В являются различными элементами S, то по крайней мере один М-класс, содержащий как А и В.
II. Если А и В отдельных элементов S, не существует более одного класса м содержащий как А и В.
III. Любые два м-классы по крайней мере один элемент S общего.
IV. Там существует по крайней мере один м-класса.
В. Каждый M-класса содержит по меньшей мере три элемента С.
VI. Все элементы S не принадлежит к той же м-класса.
VII. Нет м-класса не содержит более трех элементов S.
читатель заметит, что в этом наборе предположений у нас есть только два неопределенные термины, а именно., элемент S и M-стильный и одним определено отношение, принадлежащие к классу. В неопределенные термины, кроме того, полностью лишенным содержания, за исключением таких, как подразумевается в предположениях.
Теперь первый вопрос, чтобы спросить о наборе допущений: Являются ли они логически последовательным? В приведенном выше примере, из набора предположений, читатель найдет, что предположения все истинные утверждения, если класс S интерпретируется в виду цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 и т- классы для обозначения столбцов в таблице:
0 1 2 3 4 5 6
(1) 1 2 3 4 5 6 0
3 4 5 6 0 1 2
Эта интерпретация конкретного представления наших предположений. Каждый выведенная из предположений должно быть правдой этой системы троек. Отсюда ни один из предположений не может быть логически несовместимы с остальной; противоречивые заявления в противном случае было бы верным этой системы троек.
Таким образом, в общем случае,. набор предположений считается согласованным, если одного конкретного представления предположений может быть предоставлена.
Зная наши предположения чтобы быть последовательным, мы можем приступить к получить некоторые из теорем математической науки, из которых они являются основой:
любые два различных элементы S определить одно и только одно м-класс, содержащий оба этих элемента (Предположения I, II).
т-класс, содержащий элементы A и В может быть удобно де отметил символом АВ.
Любые два м-классы один и только один элемент из S в общих (Предположения II, III).
Там существует три элемента S, которые не все в этом же м-класса (Предположения IV, V, VI).
В соответствии с последней теоремы, пусть A, Е, С в три элементы S не в той же м-класса. По предположению V должен быть третий элемент в каждом из м-классов А В, ВС, СА, и по предположению II эти элементы должны быть отличны друг от друга и от А, Е и С. Пусть новые элементы будут D , Е, G, так что каждый из троек ABD, ВСЕ, С А. принадлежит к той же м-класса. По предположению III M-классы AE и EG, которые отличаются от до сих пор полученных всеми м-классов, есть элемент S общего, что, по предположению II, отличной от тех, до сих пор упоминается; пусть это будет обозначать F, так что каждый из троек AEF и BFG принадлежат к той же м-класса. Нет смысла пока еще не было сделано из Успенского VII. Итак, мы имеем, теорема:

Результаты (русский) 3:

В математической науке
понятие класса объектов, является основополагающим в логической и, следовательно, в какой-либо математической науки. Объекты, составляющие класса называются элементы класса. Понятие класса, кроме того, и в связи с принадлежностью к классу (включены в класс, является одним из элементов в класс, и т.д.) являются примитивные понятия логики,По смыслу, не здесь.
О событиях, происшедших в предыдущем разделе теперь может быть показано на рисунке, и другие важные концепции внес на рассмотрение, простой пример математической науки. В этой связи позвольте S класса, элементы которого мы будем обозначения, A, B, C, . . , Кроме того, пусть не будет некоторых не определено подклассов S,Какой-либо одной из которых мы будем м-класса. Что касается элементов S и m-класса мы сейчас сделать следующие
предположения:
I. Если A и B, отдельных элементов S, но по крайней мере один из m-класс, содержащий как A и B.
II. Если A и B не отдельных элементов, не не более, чем на один m-класс, содержащий как A и B.
III. Любые два м-класса имеют по меньшей мере один элемент S в общих.
IV.Существует по крайней мере один класс М.
V. Каждый класс м содержит по крайней мере трех элементов S.
VI. Все элементы S не принадлежат к одной и той же класс М.
VII. Нет m-класс содержит более трех элементов S.
читатель может заметить, что в этот набор предположений мы только что две неопределенные условия, т.е. элемент S и m-классная и один не определено, что принадлежащие к классу.В неопределенных условиях, кроме того, полностью бессодержательной, кроме таких, как подразумевается в предположения.
теперь первый вопрос в отношении предположений: они логически последовательные? В примере, приведенном выше, ряд предположений, читатель может найти, что предположения, все верно, если класс S означает цифры 0, 1,2 , 3, 4, 5,6 И m-классы для означает, что столбцы в таблице:
0 1 2 3 4 5 6
1) 1 2 3 4 5 6 0
3 4 5 6 0 1 2
это толкование является конкретным представительства нашего предположения. Все ценное предложение вытекает из предположения должны быть истинными этой системы трехместные. Поэтому ни одно из предположений может быть логически несовместимым с остальной частью;В противном случае противоречивые заявления было бы верным этой системы тройные.
таким образом, в целом, a. набор предположений, в соответствии с одним конкретным представительства предположения могут быть.
зная наших предположений, соответствовать, мы можем приступить к извлечению некоторые теоремы математической науки, они являются основой:
Каких-либо двух отдельных элементов S определить один и только один m-класс, содержащий оба эти элементы (предположений I, II) .
m-класс, содержащий элементы a и облигации могут удобно быть де-отмечено символом AB.
любых двух m-классы имеют один и только один элемент S в общих предположениях II, III) .
существуют три элемента S, не все в том же m-class (предположений IV, V, VI) .
В соответствии с последней теореме, а, Е, с трех элементов S не в том же m-class. С вступлением V должен быть третий элемент в каждом из m-класса - облигации, BC, Калифорния, и вступлением II эти элементы должны быть отличаются друг от друга и от A, E и C. новые элементы D, E, G, с тем чтобы каждый тройные АБД, двухместный, С AG относится к тому же м-класса.С вступлением III m-классов AE и EG, которые отличаются от всех m-класса до сих пор получить, содержать в себе элемент S в общих, который, с вступлением II, отличается от этих до сих пор; пусть он будет обозначенные F, с тем чтобы каждый тройные А,Ф и BFG принадлежат к одной и той же m-класса. Не используйте пока не было со вступлением VII. Мы, а затем, в теореме: