Результаты (
русский) 2:
[копия]Скопировано!
Различные способы, глядя на номера
Есть всякие способы записи чисел. Мы можем использовать арифметику с различными основаниями, фракций, десятичные, логарифмы, полномочия, или просто словами. Каждый удобнее для одной цели или другой, и каждая из них будет знаком всем, кто сделал некоторые математику в школе. Но, что удивительно, один из самых ярких и мощных представлений чисел полностью игнорируется в математике, что преподается в школах, и это редко делает появление в университетских курсах, если не принять специальную опцию в теории чисел. Тем не менее, продолжение фракции являются одним из наиболее показательных представлений чисел. Числа, в десятичной разложения выглядеть ничем не примечательный и черт выявлены иметь чрезвычайные симметрии и модели встраиваемых глубоко в них, когда развернулась в цепной дроби. Цепные дроби также предоставить нам пути построения рациональных приближений иррациональных чисел и открывать самые иррациональные числа.
Каждый номер имеет цепной дроби, но, если мы ограничимся наша цель только немного, чтобы цепной дроби разложения "почти в каждом" номер , то мы окажемся лицом к лицу с простой хаотический процесс, который, тем не менее обладает неожиданные статистические закономерности. Современные программы математические манипуляции, как Mathematica продолжали фракция разложения при построен в операциях и представляют собой простое средство для изучения замечательные свойства этих отмычек к тайной жизни чисел.
Самое ценное взгляд на номера
внесении цепные дроби
Рассмотрим квадратное уравнение
( 1)
Деление на мы можем переписать его в качестве
(2)
Теперь подставим выражение для дается правой части этого уравнения для в знаменателе правой стороны:
(3)
Мы можем продолжить эту кровосмесительные процедуру до бесконечности, чтобы производить бесконечный лестнице фракций, что является кошмаром наборщик в:
(4)
Лестница является примером дроби. Если мы вернемся к уравнению 1, то мы можем просто решить квадратное уравнение, чтобы найти положительное решение для этого дается цепной дроби уравнения 4; он
(5)
Комплектование, мы сформировали цепной дроби золотой середины,:
(6)
Эта форма вдохновляет нас, чтобы определить общую непрерывную дробь числа в
(7), где положительные целые числа, называется неполные частные расширения продолжал фракции (ДОВСЕ).
Чтобы избежать громоздких обозначений, мы пишем расширение форм уравнения 7,
(8)
Цепные дроби впервые появился в работах индийского математика Ариабхаты в 6-м веке. Он использовал их, чтобы решить линейные уравнения. Они вновь появились в Европе в 15-м и 16-м веках и Фибоначчи попытались определить их в общих чертах. Термин "непрерывная дробь" впервые появился в 1653 году в издании книги Арифметика бесконечно малых математик Оксфорд, Валлис. Их свойства также были хорошо изучены одним из Уоллис английских современников, Уильям Brouncker, который вместе с Уоллис, был одним из основателей Королевского общества. Примерно в то же время, известный голландский математик и физик, Христиан Гюйгенс сделал практическое применение цепных дробей в строительстве научные приборы. Позднее, в восемнадцатом и начале девятнадцатого века, Гаусс и Эйлер исследовал многие из их глубоких свойств.
Как долго цепная дробь?
Цепные дроби может быть конечной длины или бесконечна, как в нашем примере выше. Конечные cfes являются уникальными, так долго, как мы не позволяют частное в окончательного вступления в кронштейне (уравнение 8), так, например, мы должны написать, как 1/2, а не как мы всегда можем устранить из последней записи по добавляя к предыдущей записи.
Если cfes конечны в длину, то они могут быть оценены уровень за уровнем (начиная с нижней) и сократит всегда рациональной дроби; например, ДОВСЕ. Тем не менее, cfes может быть бесконечным в длину, как и в уравнении 6 выше. Бесконечные cfes производить представления иррациональных чисел. Если мы сделаем несколько различных вариантов для постоянной в уравнениях 4 и 5, то мы можем произвести некоторые другие интересные расширения для чисел, которые являются решениями квадратного уравнения. На самом деле, все корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами, как уравнения 5, есть cfes, которые в конечном итоге периодическая, как и. Вот главные члены от нескольких известных примеров бесконечных cfes:
(9)
(10)
(11)
(12)
Эти примеры показывают ряд возможностей. Все расширения исключением того, что для у простых моделей в то время, что для, впервые была рассчитывается путем Валлис в 1685 году, не имеет очевидного шаблона вообще. Там также, кажется, предпочтение факторы, чтобы быть небольшими числами, в этих примерах. ДОВСЕ для впервые вычислил
Роджер Котс, в Plumian профессор экспериментальной философии в Кембридже, в 1714 году
Продолжение фракций позволит нам исследовать иначе скрытый порядок в сфере чисел. Если бы мы написали ряд в виде десятичной дроби () или даже в двоичном виде (), то он выглядит довольно невзрачный номер. Только тогда, когда это написано, как цепная дробь делает его уникальная структура появляться.
переводится, пожалуйста, подождите..