Different ways of looking at number

Different ways of looking at numbers
There are all sorts of ways of writing numbers. We can use arithmetics with different bases, fractions, decimals, logarithms, powers, or simply words. Each is more convenient for one purpose or another and each will be familiar to anyone who has done some mathematics at school. But, surprisingly, one of the most striking and powerful representations of numbers is completely ignored in the mathematics that is taught in schools and it rarely makes an appearance in university courses, unless you take a special option in number theory. Yet continued fractions are one of the most revealing representations of numbers. Numbers whose decimal expansions look unremarkable and featureless are revealed to have extraordinary symmetries and patterns embedded deep within them when unfolded into a continued fraction. Continued fractions also provide us with a way of constructing rational approximations to irrational numbers and discovering the most irrational numbers.
Every number has a continued fraction expansion but if we restrict our ambition only a little, to the continued fraction expansions of "almost every" number, then we shall find ourselves face to face with a simple chaotic process that nonetheless possesses unexpected statistical patterns. Modern mathematical manipulation programs like Mathematica have continued fraction expansions as built in operations and provide a simple tool for exploring the remarkable properties of these master keys to the secret life of numbers.
The Nicest Way of Looking at Numbers
Introducing continued fractions
Consider the quadratic equation
(1)
Dividing by we can rewrite it as
(2)
Now substitute the expression for given by the right-hand side of this equation for in the denominator on the right-hand side:
(3)
We can continue this incestuous procedure indefinitely, to produce a never-ending staircase of fractions that is a type-setter’s nightmare:
(4)
This staircase is an example of a continued fraction. If we return to equation 1 then we can simply solve the quadratic equation to find the positive solution for that is given by the continued fraction expansion of equation 4; it is
(5)
Picking , we have generated the continued fraction expansion of the golden mean, :
(6)
This form inspires us to define a general continued fraction of a number as
(7)
where the are positive integers, called the partial quotients of the continued fraction expansion (cfe). To avoid the cumbersome notation we write an expansion of the form equation 7 as
(8)
Continued fractions first appeared in the works of the Indian mathematician Aryabhata in the 6th century. He used them to solve linear equations. They re-emerged in Europe in the 15th and 16th centuries and Fibonacci attempted to define them in a general way. The term "continued fraction" first appeared in 1653 in an edition of the book Arithmetica Infinitorum by the Oxford mathematician, John Wallis. Their properties were also much studied by one of Wallis's English contemporaries, William Brouncker, who along with Wallis, was one of the founders of the Royal Society. At about the same time, the famous Dutch mathematical physicist, Christiaan Huygens made practical use of continued fractions in building scientific instruments. Later, in the eighteenth and early nineteenth centuries, Gauss and Euler explored many of their deep properties.
How long is a continued fraction?
Continued fractions can be finite in length or infinite, as in our example above. Finite cfes are unique so long as we do not allow a quotient of in the final entry in the bracket (equation 8), so for example, we should write 1/2 as rather than as We can always eliminate a from the last entry by adding to the previous entry.
If cfes are finite in length then they can be evaluated level by level (starting at the bottom) and will reduce always to a rational fraction; for example, the cfe . However, cfes can be infinite in length, as in equation 6 above. Infinite cfes produce representations of irrational numbers. If we make some different choices for the constant in equations 4 and 5 then we can generate some other interesting expansions for numbers which are solutions of the quadratic equation. In fact, all roots of quadratic equations with integer coefficients, like equation 5, have cfes which are eventually periodic, like or . Here are the leading terms from a few notable examples of infinite cfes:
(9)
(10)
(11)
(12)
These examples reveal a number of possibilities. All of the expansions except that for have simple patterns whilst that for , which was first calculated by John Wallis in 1685, has no obvious pattern at all. There also seems to be a preference for the quotients to be small numbers in these examples. The cfe for was first calculated by
Roger Cotes, the Plumian Professor of Experimental Philosophy at Cambridge, in 1714.
Continued fractions allow us to probe an otherwise hidden order within the realm of numbers. If we had written the number as a decimal ( ) or even in binary ( ) then it looks a pretty nondescript number. Only when it is written as a continued fraction does its unique structure emerge.
 

Результаты (русский) 1:

Различные способы глядя на номераЕсть все виды способов написания чисел. Мы можем использовать арифметики с различных баз, дроби, десятичных дробей, логарифмы, полномочий или просто слова. Каждый является более удобным для одной цели или другой и каждый будет знакомы всем, кто сделал некоторые математики в школе. Но, удивительно, одна из самых ярких и мощный представлений чисел полностью игнорируется в математике, который преподается в школах, и он редко делает появление в университетские курсы, если вы берете специальную опцию в теории чисел. Тем не менее цепные дроби являются одним из наиболее показательным представлений чисел. Номера которых десятичные разложения смотреть ничем не примечательный и безликих раскрываются иметь чрезвычайный симметрии и моделей встроенных глубоко внутри них, когда развернулось в цепной дроби. Цепные дроби также предоставить нам с способ построения рациональных приближений для иррациональных чисел и выявления наиболее иррациональных чисел.Каждый номер имеет цепной дроби расширения, но если мы ограничиваем наши амбиции, только немного, чтобы цепной дроби разложения «почти каждый» номер, то мы найдем себя лицом к лицу с простой хаотический процесс, который тем не менее обладает неожиданным статистических моделей. Современные математические манипуляции программы как Mathematica иметь цепной дроби разложения как построен в операции и простой инструмент для изучения замечательные свойства этих мастер-ключей к тайной жизни чисел.Прекраснейшим образом смотреть на номераПредставляя цепные дробиРассмотрим уравнение квадратической (1)Деления на мы можем переписать его как (2)Теперь замените выражение для правой стороны этого уравнения для в знаменателе на правой стороне: (3)Мы можем продолжать производить бесконечной лестницы фракций, тип сеттер кошмар этой кровосмесительной процедуры бесконечно: (4)Эта лестница является примером цепной дроби. Если мы вернемся к уравнение 1 тогда мы просто можем решить квадратное уравнение найти позитивное решение для этого задается цепной дроби расширение уравнение 4; Это (5)Сбор, мы вызвали расширение цепной дроби Золотая середина: (6)Эта форма вдохновляет нас определить общие цепной дроби числа как (7)где находятся целых положительных чисел, называется частичным коэффициенты расширения цепной дроби (ДОВСЕ). Чтобы избежать громоздких нотации мы написать расширение формы уравнения 7 как (8)Цепные дроби впервые появились в работах индийский математик Ариабхата в VI веке. Он использовал их для решения линейных уравнений. Они вновь появились в Европе в XV и XVI веках и Фибоначчи попытались определить их в общем виде. Термин «цепной дроби» впервые появился в 1653 году в издании книги арифметика арифметике, Оксфордский математик, Джон Валлис. Их свойства были также много учился один из отеля Wallis Английский современников, William Brouncker, который вместе с Уоллис, был одним из основателей Королевского общества. На то же время, знаменитый голландский физик математических, Christiaan Huygens сделал практического использования цепных дробей в создании научных приборов. Позднее в XVIII и начале XIX веков, Гаусса и Эйлера изучены многие из их глубокую свойств.Как долго это цепной дроби?Цепные дроби может быть конечным в длину или бесконечным, как в примере выше. Конечное cfes являются уникальными, до тех пор, пока мы не разрешаем коэффициент в отношении окончательного вступления в скобу (уравнение 8), так например, мы должны написать как 1/2, а не как мы всегда можем устранить от последней записи, добавляя к предыдущей записи. Если cfes конечны в длину затем они могут быть оцененным на уровне (начиная внизу) и уменьшит всегда к рациональной дроби; например ДОВСЕ. Однако cfes может быть бесконечным, в длину, как и уравнения 6 выше. Бесконечные cfes производят представлений иррациональных чисел. Если мы сделать несколько различных вариантов для константы в уравнениях 4 и 5, то мы можем создать некоторые другие интересные расширения для чисел, которые являются решения квадратного уравнения. В самом деле, все корни квадратичных уравнений с целыми коэффициентами, как уравнение 5, имеют cfes, которые в конечном итоге периодических, как или. Вот ведущих термины с несколько заметных примеров бесконечные cfes: (9) (10) (11) (12)Эти примеры показывают ряд возможностей. Все разложений, за исключением, что для имеют простые шаблоны пока что, который впервые был рассчитан, Джон Валлис в 1685 году, имеет не очевидные узор на всех. Также, как представляется, предпочтение коэффициенты в небольших количествах в этих примерах. ДОВСЕ для впервые был рассчитан путем Roger КОТЭС, геофизику профессор экспериментальной философии в Кембридже, в 1714 году. Цепные дроби позволяют нам зонд иначе скрытый порядок в сфере чисел. Если мы написали число как десятичное () или даже в двоичный (), то это выглядит довольно невзрачный номер. Только тогда, когда она написана как цепной дроби делает ее уникальной структуры появляются.  

Результаты (русский) 2:

Различные способы, глядя на номера
Есть всякие способы записи чисел. Мы можем использовать арифметику с различными основаниями, фракций, десятичные, логарифмы, полномочия, или просто словами. Каждый удобнее для одной цели или другой, и каждая из них будет знаком всем, кто сделал некоторые математику в школе. Но, что удивительно, один из самых ярких и мощных представлений чисел полностью игнорируется в математике, что преподается в школах, и это редко делает появление в университетских курсах, если не принять специальную опцию в теории чисел. Тем не менее, продолжение фракции являются одним из наиболее показательных представлений чисел. Числа, в десятичной разложения выглядеть ничем не примечательный и черт выявлены иметь чрезвычайные симметрии и модели встраиваемых глубоко в них, когда развернулась в цепной дроби. Цепные дроби также предоставить нам пути построения рациональных приближений иррациональных чисел и открывать самые иррациональные числа.
Каждый номер имеет цепной дроби, но, если мы ограничимся наша цель только немного, чтобы цепной дроби разложения "почти в каждом" номер , то мы окажемся лицом к лицу с простой хаотический процесс, который, тем не менее обладает неожиданные статистические закономерности. Современные программы математические манипуляции, как Mathematica продолжали фракция разложения при построен в операциях и представляют собой простое средство для изучения замечательные свойства этих отмычек к тайной жизни чисел.
Самое ценное взгляд на номера
внесении цепные дроби
Рассмотрим квадратное уравнение
( 1)
Деление на мы можем переписать его в качестве
(2)
Теперь подставим выражение для дается правой части этого уравнения для в знаменателе правой стороны:
(3)
Мы можем продолжить эту кровосмесительные процедуру до бесконечности, чтобы производить бесконечный лестнице фракций, что является кошмаром наборщик в:
(4)
Лестница является примером дроби. Если мы вернемся к уравнению 1, то мы можем просто решить квадратное уравнение, чтобы найти положительное решение для этого дается цепной дроби уравнения 4; он
(5)
Комплектование, мы сформировали цепной дроби золотой середины,:
(6)
Эта форма вдохновляет нас, чтобы определить общую непрерывную дробь числа в
(7), где положительные целые числа, называется неполные частные расширения продолжал фракции (ДОВСЕ).
Чтобы избежать громоздких обозначений, мы пишем расширение форм уравнения 7,
(8)
Цепные дроби впервые появился в работах индийского математика Ариабхаты в 6-м веке. Он использовал их, чтобы решить линейные уравнения. Они вновь появились в Европе в 15-м и 16-м веках и Фибоначчи попытались определить их в общих чертах. Термин "непрерывная дробь" впервые появился в 1653 году в издании книги Арифметика бесконечно малых математик Оксфорд, Валлис. Их свойства также были хорошо изучены одним из Уоллис английских современников, Уильям Brouncker, который вместе с Уоллис, был одним из основателей Королевского общества. Примерно в то же время, известный голландский математик и физик, Христиан Гюйгенс сделал практическое применение цепных дробей в строительстве научные приборы. Позднее, в восемнадцатом и начале девятнадцатого века, Гаусс и Эйлер исследовал многие из их глубоких свойств.
Как долго цепная дробь?
Цепные дроби может быть конечной длины или бесконечна, как в нашем примере выше. Конечные cfes являются уникальными, так долго, как мы не позволяют частное в окончательного вступления в кронштейне (уравнение 8), так, например, мы должны написать, как 1/2, а не как мы всегда можем устранить из последней записи по добавляя к предыдущей записи.
Если cfes конечны в длину, то они могут быть оценены уровень за уровнем (начиная с нижней) и сократит всегда рациональной дроби; например, ДОВСЕ. Тем не менее, cfes может быть бесконечным в длину, как и в уравнении 6 выше. Бесконечные cfes производить представления иррациональных чисел. Если мы сделаем несколько различных вариантов для постоянной в уравнениях 4 и 5, то мы можем произвести некоторые другие интересные расширения для чисел, которые являются решениями квадратного уравнения. На самом деле, все корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами, как уравнения 5, есть cfes, которые в конечном итоге периодическая, как и. Вот главные члены от нескольких известных примеров бесконечных cfes:
(9)
(10)
(11)
(12)
Эти примеры показывают ряд возможностей. Все расширения исключением того, что для у простых моделей в то время, что для, впервые была рассчитывается путем Валлис в 1685 году, не имеет очевидного шаблона вообще. Там также, кажется, предпочтение факторы, чтобы быть небольшими числами, в этих примерах. ДОВСЕ для впервые вычислил
Роджер Котс, в Plumian профессор экспериментальной философии в Кембридже, в 1714 году
Продолжение фракций позволит нам исследовать иначе скрытый порядок в сфере чисел. Если бы мы написали ряд в виде десятичной дроби () или даже в двоичном виде (), то он выглядит довольно невзрачный номер. Только тогда, когда это написано, как цепная дробь делает его уникальная структура появляться.
 

Результаты (русский) 3:

разные взгляды на цифры: есть всевозможные способы подготовки номера.мы можем использовать arithmetics с различных баз, фракции, после запятой, логарифмы, полномочия, или просто словами.каждый из них является более удобной для одной цели, или другой, и каждый будет знакомы любому, кто сделал некоторые математики в школе.но, как ни странно,одним из самых ярких и сильных представительств номера полностью игнорируется в математике, что преподается в школах, и он редко показывается в университетские курсы, если не принять специальную опцию в теории чисел.но продолжение фракции являются одним из наиболее показательным представлениями чисел.цифры, до расширения выглядят заурядно и безликие показали на внеочередной симметрия и моделей, встроенные в глубине их, когда разворачивались в продолжение фракции.продолжение фракции также предоставить нам путь построения рациональной допущениями в иррациональных чисел и выявления самых иррациональных чисел.
каждый номер имеет непрерывная дробь расширения, но если мы ограничиваем наших амбиций, только немного, по - прежнему часть предприятий "практически все", тогда мы должны оказаться лицом к лицу с простым хаотичный процесс, что, тем не менее, обладает неожиданно статистической модели.современные математические манипуляции программ, как mathematica продолжали часть роста как построен в операции и обеспечить простой инструмент для изучения замечательные свойства этих генеральных ключи к тайной жизни цифр.
лучший способ взглянуть на цифры
представляя продолжение фракции рассмотреть квадратное уравнение


(1), разделив мы можем переписать как
(2).в настоящее время заменить выражение в правой части этого уравнения в знаменателе справа:
(3): мы продолжим эту процедуру до бесконечности кровосмешения, производить бесконечная лестница фракции это типа сеттер кошмар:
(4): эта лестница является примером непрерывная дробь.если мы вернемся к формуле 1, то мы можем решать квадратное уравнение найти позитивные решения, что обеспечивается непрерывная дробь расширение уравнения 4; это
(5)
выбора, мы вызвали постоянную часть расширение золотая середина,:
(6)
этой формы вдохновляет нас на определить общие продолжение часть номер как
(7).где являются позитивными целые, называется частичная частные продолжение часть роста (довсе).для того, чтобы избежать громоздкой записи мы пишем расширение формы уравнение 7 как
(8): продолжение фракции впервые появился в работах индийского математика ариабхата в шестом веке.он использовал их для решения линейных уравнений.они снова появились в европе в XV и XVI века и фибоначчи попыталась определить их в общем порядке.термин "по - прежнему фракция" впервые появились в 1653 в издание книги арифметика infinitorum by the Oxford математик джон уоллис.их имущество было также много учился один уоллис английский современников, уильям brouncker, который вместе с уоллис,был одним из основателей королевского общества.примерно в это же время, известный голландский математическую физику, христиан гюйгенс, практического использования продолжение дроби в здания научных инструментов.позже, в XVIII и в начале XIX века, гаусс и эйлера изучить многие их глубокой свойства.
давно является непрерывная дробь?
продолжение фракции может быть ограниченных в длину или бесконечные, как в нашем примере выше.конечная cfes уникальны, пока мы не позволяют отношение в последняя запись в скобках (уравнение 8), так, например, мы должны написать 1 / 2 в качестве, а не как мы всегда можем устранить из последней записи, добавив к предыдущей записи.
если cfes ограничены в длину, то они могут быть оценены на уровне (начиная снизу) и сократит всегда рациональные фракцию; например, фсо.однако, cfes может быть бесконечной длины, как в уравнение 6 выше.бесконечное cfes производят представления иррациональных чисел.если мы сделаем несколько различных вариантов для постоянной в уравнения 4 и 5, тогда мы можем получить некоторые другие интересные цифры, которые являются расширение для решения квадратное уравнение.в самом деле, все корни квадратные уравнения с целое коэффициенты, как уравнение 5, cfes, которые в конечном итоге периодических, как или.вот основной круг из нескольких примечательных примеров бесконечно cfes:
(9), сша (10)
(11), сша (12): эти примеры показывают много возможностей.все, за исключением того, что для расширения имеют простые модели, хотя это, который впервые подсчитали, джон уоллис в 1685, не имеет очевидной шаблон.кроме того, как представляется, предпочтение коэффициенты в небольших количествах в эти примеры.довсе для впервые рассчитывается путем
котс, роджер,в plumian профессор экспериментальной философии в кембридже, в 1714 году.
продолжение фракции позволяют нам зонд в ином случае тайного порядка в сфере номера.если мы написали номер в долях () или даже в бинарном (), то это выглядит довольно непримечательное номер.только тогда, когда она написана как продолжение фракции делает ее уникальной структуры emerge.