2. THE INADEQUACY OF EUCLID'S POSTU

2. THE INADEQUACY OF EUCLID'S POSTULATES
The inadequacy of Euclid's own set of postulates illustrates a point which is crucial for the axiomatic method in modern mathematics: Once the postulates for a theory have been laid down, every further proposi¬tion of the theory must be proved exclusively by logical deduction from the postulates; any appeal, explicit or implicit, to a feeling of self-evidence, or to the characteristics of geometrical figures, or to our experiences con¬cerning the behavior of rigid bodies in physical space, or the like, is strictly prohibited; such devices may have a heuristic value in guiding our efforts to find a strict proof for a theorem, but the proof itself must con¬tain absolutely no reference to such aids. This is particularly important in geometry, where our so-called intuition of geometrical relationships, sup¬ported by reference to figures or to previous physical experiences, may induce us tacitly to make use of assumptions which are neither formulated in our postulates nor provable by means of them. Consider, for example, the theorem that in a triangle the three medians bisecting the sides inter¬sect in one point which divides each of them in the ratio of 1:2. To prove this theorem, one shows first that in any triangle ABC (see figure) the line segment MN which connects the centers of AB and AC is parallel to BC and therefore half as long as the latter side. Then the lines BN and CM are drawn, and an examination of the triangles MON and BOC leads to the proof of the theorem. In this procedure, it is usually taken for granted that BN and CM intersect in a point O which lies between B and N as well as between C and M. This assumption is based on geometrical
A


intuition, and indeed, it cannot be deduced from Euclid's postulates; to make it strictly demonstrable and independent of any reference to in¬tuition, a special group of postulates has been added to those of Euclid; they are the postulates of order. One of these—to give an example—asserts

Результаты (русский) 1:

2. НЕАДЕКВАТНОСТЬ ПОСТУЛАТОВ ЕВКЛИДАThe inadequacy of Euclid's own set of postulates illustrates a point which is crucial for the axiomatic method in modern mathematics: Once the postulates for a theory have been laid down, every further proposi¬tion of the theory must be proved exclusively by logical deduction from the postulates; any appeal, explicit or implicit, to a feeling of self-evidence, or to the characteristics of geometrical figures, or to our experiences con¬cerning the behavior of rigid bodies in physical space, or the like, is strictly prohibited; such devices may have a heuristic value in guiding our efforts to find a strict proof for a theorem, but the proof itself must con¬tain absolutely no reference to such aids. This is particularly important in geometry, where our so-called intuition of geometrical relationships, sup¬ported by reference to figures or to previous physical experiences, may induce us tacitly to make use of assumptions which are neither formulated in our postulates nor provable by means of them. Consider, for example, the theorem that in a triangle the three medians bisecting the sides inter¬sect in one point which divides each of them in the ratio of 1:2. To prove this theorem, one shows first that in any triangle ABC (see figure) the line segment MN which connects the centers of AB and AC is parallel to BC and therefore half as long as the latter side. Then the lines BN and CM are drawn, and an examination of the triangles MON and BOC leads to the proof of the theorem. In this procedure, it is usually taken for granted that BN and CM intersect in a point O which lies between B and N as well as between C and M. This assumption is based on geometricalA intuition, and indeed, it cannot be deduced from Euclid's postulates; to make it strictly demonstrable and independent of any reference to in¬tuition, a special group of postulates has been added to those of Euclid; they are the postulates of order. One of these—to give an example—asserts

Результаты (русский) 2:

2. Неадекватность постулатов Евклида
неадекватность собственного набора Евклида постулатов иллюстрирует точку, которая имеет решающее значение для аксиоматического метода в современной математике: После того, как постулаты для теории были заложены, каждый последующий proposi¬tion теории должны быть оказалось исключительно логического вывода из постулатов; любая апелляция, явно или неявно, к чувству очевидности, или характеристик геометрических фигур, или в нашем опыте con¬cerning поведение твердых тел в физическом пространстве, или, как, строго запрещено; такие устройства могут иметь эвристическую ценность в руководстве наши усилия, чтобы найти строгое доказательство теоремы для, но само по себе доказательство не должно con¬tain абсолютно никакого отношения к таким пособий. Это особенно важно в геометрии, где наша так называемая интуиция геометрических отношений, sup¬ported со ссылкой на фигуры или предыдущих физических опытов, может побудить нас молчаливо использовать предположениях, которые не являются ни сформулированных в наших постулатов, ни доказуемо посредством их. Рассмотрим, например, теорему, что в треугольнике три медианы рассекает стороны inter¬sect в одной точке, которая делит каждый из них в соотношении 1: 2. Чтобы доказать эту теорему, один показывает сначала, что в любом треугольнике ABC (см рисунок) сегмент М.Н. линия, которая соединяет центры AB и AC параллельно до нашей эры и поэтому половина тех пор, как последний стороны. Тогда прямые BN и CM нарисованы, и экспертиза треугольников BOC пн и приводит к доказательству теоремы. В этой процедуре, как правило, само собой разумеющееся, что BN и CM пересекаются в точке О, которая лежит между B и N, а также между С и М. Это предположение основано на геометрической
A интуиции, и, действительно, она не может быть выведена из постулаты Евклида; чтобы сделать его строго доказана и не зависит от каких-либо ссылок на in¬tuition, специальная группа постулатов была добавлена ​​Евклида; они являются постулаты порядке. Один из них-дать пример-утверждает