A set of vectors in a vector space

A set of vectors in a vector space V is called a basis, or a set of basis vectors, if the vectors are linearly independent and every other vector in the vector space is linearly dependent on these vectors. In more general terms, a basis is a linearly independent spanning set.
Given a basis of a vector space V, every element of V can be expressed uniquely as a linear combination of basis vectors, whose coefficients are referred to as vector coordinates or components. A vector space can have many different sets of basis vectors, however each set has the same number of elements, which defines the dimension of the vector space.
A basis B of a vector space V over a field F is a linearly independent subset of V that spans V.
In more detail, suppose that B = { v1, …, vn } is a finite subset of a vector space V over a field F (such as the real or complex numbers R or C). Then B is a basis if it satisfies the following conditions:
• the linear independence property,
for all a1, …, an ∈ F, if a1v1 + … + anvn = 0, then necessarily a1 = … = an = 0; and
• the spanning property,
for every x in V it is possible to choose a1, …, an ∈ F such that x = a1v1 + … + anvn.
The numbers ai are called the coordinates of the vector x with respect to the basis B, and by the first property they are uniquely determined.
A vector space that has a finite basis is called finite-dimensional. To deal with infinite-dimensional spaces, we must generalize the above definition to include infinite basis sets. We therefore say that a set (finite or infinite) B ⊂ V is a basis, if
• every finite subset B0 ⊆ B obeys the independence property shown above; and
• for every x in V it is possible to choose a1, …, an ∈ F and v1, …, vn ∈ B such that x = a1v1 + … + anvn.
The sums in the above definition are all finite because without additional structure the axioms of a vector space do not permit us to meaningfully speak about an infinite sum of vectors. Settings that permit infinite linear combinations allow alternative definitions of the basis concept.
It is often convenient to list the basis vectors in a specific order, for example, when considering the transformation matrix of a linear map with respect to a basis. We then speak of an ordered basis, which we define to be a sequence (rather than a set) of linearly independent vectors that span V.
The general case is to give a matrix with the components of the new basis vectors in columns. This is also the more general method because it can express any possible set of vectors even if it is not a basis. This matrix can be seen as three things:
Basis Matrix: Is a matrix that represents the basis, because its columns are the components of vectors of the basis. This matrix represents any vector of the new basis as linear combination of the current basis.
Rotation operator: When orthonormal bases are used, any other orthonormal basis can be defined by a rotation matrix. This matrix represents the rotation operator that rotates the vectors of the basis to the new one. It is exactly the same matrix as before because the rotation matrix multiplied by the identity matrix I has to be the new basis matrix.
Change of basis matrix: This matrix can be used to change different objects of the space to the new basis. Therefore is called "change of basis" matrix. It is important to note that some objects change their components with this matrix and some others, like vectors, with its inverse.
Again, B denotes a subset of a vector space V. Then, B is a basis if and only if any of the following equivalent conditions are met:
• B is a minimal generating set of V, i.e., it is a generating set and no proper subset of B is also a generating set.
• B is a maximal set of linearly independent vectors, i.e., it is a linearly independent set but no other linearly independent set contains it as a proper subset.
• Every vector in V can be expressed as a linear combination of vectors in B in a unique way. If the basis is ordered then the coefficients in this linear combination provide coordinates of the vector relative to the basis.
Every vector space has a basis. The proof of this requires the axiom of choice. All bases of a vector space have the same cardinality (number of elements), called the dimension of the vector space. This result is known as the dimension theorem, and requires the ultrafilter lemma, a strictly weaker form of the axiom of choice.
Also many vector sets can be attributed a standard basis which comprises both spanning and linearly independent vectors.
Standard bases for example:
In Rn {E1,...,En} where En is the n-th column of the identity matrix which consists of all ones in the main diagonal and zeros everywhere else. This is because the columns of the identity matrix are linearly independent can always span a vector set by expressing it as a linear combination.
In P2 where P2 is the set of all polynomials of degree at most 2 {1,x,x2} is the standard basis.
In M22 {M1,1,M1,2,M2,1,M2,2} where M22 is the set of all 2×2 matrices. and Mm,n is the 2×2 matrix with a 1 in the m, n position and zeros everywhere else. This again is a standard basis since it is linearly independent and spanning.

Результаты (русский) 1:

Набор векторов в векторном пространстве V называется основа, или набор базисных векторов, если векторы линейно независимы и каждый другой вектор в векторном пространстве линейно зависит от этих векторов. В более общем плане основой является набор линейно независимых связующего.Учитывая основы векторного пространства V, каждый элемент V может быть выражен однозначно как линейную комбинацию базисных векторов, коэффициенты которых называются координатами вектора или компонентов. Векторного пространства может иметь множество различных наборов базисных векторов, однако каждый набор имеет одинаковое количество элементов, которое определяет размерность векторного пространства.Основы векторного пространства V над полем F B является подмножеством линейно независимых V, который охватывает V.Более подробно, предположим, что B = {v1,..., vn} является подмножеством конечных векторного пространства V над полем F (например, реальные или комплексных чисел R или C). Затем B – это основа, если он удовлетворяет следующим условиям:• Свойство линейная независимость,для всех a1,..., ∈ F, если a1v1 +... + anvn = 0, то обязательно А1 =... = = 0; и• Свойство связующего,для каждого x в V это можно выбрать a1,..., ∈ F такие что x = a1v1 +... + anvn.Чисел ai, называются координатами вектора x отношении основу B и первого свойства, они определяются однозначно.A vector space that has a finite basis is called finite-dimensional. To deal with infinite-dimensional spaces, we must generalize the above definition to include infinite basis sets. We therefore say that a set (finite or infinite) B ⊂ V is a basis, if• every finite subset B0 ⊆ B obeys the independence property shown above; and• for every x in V it is possible to choose a1, …, an ∈ F and v1, …, vn ∈ B such that x = a1v1 + … + anvn.The sums in the above definition are all finite because without additional structure the axioms of a vector space do not permit us to meaningfully speak about an infinite sum of vectors. Settings that permit infinite linear combinations allow alternative definitions of the basis concept.It is often convenient to list the basis vectors in a specific order, for example, when considering the transformation matrix of a linear map with respect to a basis. We then speak of an ordered basis, which we define to be a sequence (rather than a set) of linearly independent vectors that span V.The general case is to give a matrix with the components of the new basis vectors in columns. This is also the more general method because it can express any possible set of vectors even if it is not a basis. This matrix can be seen as three things:Basis Matrix: Is a matrix that represents the basis, because its columns are the components of vectors of the basis. This matrix represents any vector of the new basis as linear combination of the current basis.Вращение оператора: при использовании ортонормированный баз, любой другой ортонормированный базис могут быть определены на матрицу вращения. Эта матрица представляет оператор вращения, который поворачивает векторы базиса в новую. Это точно той же матрицы, как раньше, потому что матрицы вращения единичная матрица я должен быть основой новой матрицы.Изменить основу матрицы: Эта матрица может использоваться для изменения различных объектов пространства на новой основе. Поэтому называется матрица «изменение основы». Важно отметить, что некоторые объекты, изменить их компонентов с этой матрицы и некоторые другие, как векторы, с его инверсии.Опять же B обозначает подмножество векторного пространства V. Затем B – это основа, только в том случае, если любой из следующих равнозначных условиях выполняются:• B является минимальный набор генерирующих v, то есть, это набор генерирующих и не правильное подмножество B также генерации набора.• B является набор максимального линейно независимых векторов, то есть, это набор линейно независимых, но без других линейно независимых набор содержит это как правильное подмножество.• Каждый вектор в V можно выразить в виде линейной комбинации векторов в B в уникальный способ. Если основой является приказал затем коэффициенты в этой линейной комбинации обеспечивают координаты вектора относительно основы.Every vector space has a basis. The proof of this requires the axiom of choice. All bases of a vector space have the same cardinality (number of elements), called the dimension of the vector space. This result is known as the dimension theorem, and requires the ultrafilter lemma, a strictly weaker form of the axiom of choice.Also many vector sets can be attributed a standard basis which comprises both spanning and linearly independent vectors.Standard bases for example:In Rn {E1,...,En} where En is the n-th column of the identity matrix which consists of all ones in the main diagonal and zeros everywhere else. This is because the columns of the identity matrix are linearly independent can always span a vector set by expressing it as a linear combination.In P2 where P2 is the set of all polynomials of degree at most 2 {1,x,x2} is the standard basis.In M22 {M1,1,M1,2,M2,1,M2,2} where M22 is the set of all 2×2 matrices. and Mm,n is the 2×2 matrix with a 1 in the m, n position and zeros everywhere else. This again is a standard basis since it is linearly independent and spanning.

Результаты (русский) 2:

Набор векторов в векторном пространстве V называется основой, или набор базисных векторов, если векторы линейно независимы и каждый вектор в пространстве линейно зависят от этих векторов. В более общем плане, основой является линейно независимое множество связующего.
Учитывая основой векторном пространстве V, каждый элемент V можно выразить однозначно в виде линейной комбинации базисных векторов, коэффициенты называются вектор координат или его компонентов. Векторное пространство может иметь много различных наборов базисных векторов, однако каждый набор имеет одинаковое количество элементов, которое определяет размерность векторного пространства.
Базис В векторного пространства V над полем Р линейно независимы подмножество V который охватывает В.
Более подробно, предположим, что B = {v1, ..., уп} является конечное подмножество векторного пространства V над полем F (например, действительных или комплексных чисел R или C). Тогда B является базисом, если она удовлетворяет следующим условиям:
• линейной независимости собственности,
для всех a1, ..., ∈ F, если a1v1 + ... anvn = 0, то обязательно а1 = ... = = 0; и
• связующего собственности,
для каждого х в V можно выбрать a1, ..., ∈ F такой, что х = a1v1 + ... anvn.
Числа ай называются координатами вектора х относительно базиса В и по первому свойству они однозначно определяются.
векторное пространство, которое имеет конечный базис называется конечномерной. Чтобы справиться с бесконечными пространствах, мы должны обобщить выше определение включает бесконечные базисных наборов. Поэтому мы говорим, что множество (конечное или бесконечное) B ⊂ V является основой, если
• каждое конечное подмножество В0 ⊆ B подчиняется имущественной самостоятельности, показанный выше; и
• для каждого х в V можно выбрать a1, ..., ∈ F и V1, ..., Vn ∈ B такой, что х = a1v1 + ... anvn.
Суммы в приведенном выше определении конечны, потому что без дополнительной структуры аксиомы векторного пространства не позволяют осмысленно говорить о бесконечной суммы векторов. Настройки, которые позволяют бесконечные линейные комбинации позволяют альтернативные определения понятия базиса.
Это часто удобно перечислить базисных векторов в определенном порядке, например, при рассмотрении преобразование матрицы линейного отображения по отношению к основе. Мы тогда говорить о упорядоченной основе, что мы определяем как последовательность (а не набор) линейно независимых векторов, которые охватывают В.
общем случае, чтобы дать матрицу с компонентами новых базисных векторов в столбцах. Это также более общий способ, потому что он может выразить любой возможный набор векторов, даже если это не является основанием. Эта матрица может рассматриваться как три вещи:
базисная матрица: Есть матрица, представляющая основу, потому что ее столбцы являются компонентами векторов базиса. Эта матрица представляет любой вектор нового базиса как линейная комбинация текущего основе.
оператора вращения: При ортонормальные основы используют любой другой ортонормированный базис может быть определен с помощью матрицы поворота. Эта матрица представляет оператор поворота, который вращает векторы основе новой. Именно та же матрица, как раньше, потому что матрица вращения умножается на единичную матрицу я должен быть новый базис матрицы.
Изменение базиса матрицы: Эта матрица может быть использована для изменения различных объектов пространства на новой основе. Поэтому называется "смена основе" матрицы. Важно отметить, что некоторые объекты меняют свои компоненты с этой матрицей и некоторых других, как векторов, с обратной.
Опять же, В обозначает подмножество векторного пространства V. Тогда, Б базисом, если и только если любой из следующие эквивалентные условия:
. • Б минимальное порождающее множество V, то есть, это генераторной установки и никакое собственное подмножество из B не является порождающим множеством
• Б максимальный набор линейно независимых векторов, т.е., это линейно независимое множество, но нет другого линейно независимы набор его как собственное подмножество.
• Каждый вектор в V может быть выражено в виде линейной комбинации векторов в В в уникальном пути. Если база приказал то коэффициенты в этой линейной комбинации обеспечивают координаты вектора в базисе.
Каждый вектор пространства есть базис. Доказательством этого требует аксиомы выбора. Все основы векторного пространства имеют одинаковую мощность (количество элементов), под названием размерность векторного пространства. . Этот результат известен как теорема размерности, и требует ультрафильтрационную лемму, строго слабее форму аксиомы выбора
Кроме того, многие векторные наборы можно отнести стандартный базис, который включает и охватывает и линейно независимых векторов.
Стандартные базисы например:
В Rn {E1, ..., En}, где Еп п-й столбец единичной матрицы, которая состоит из всех тех, в главной диагонали и нулями на остальных местах. Это потому, что столбцы единичной матрицы линейно независимы всегда может охватывать вектор набор выразив его в виде линейной комбинации.
В Р2, где Р2 множество всех многочленов степени не выше 2 {1, х, х2} является стандартный базис.
В M22 {M1,1 M1,2, M2,1,, M2,2}, где М22 представляет множество всех 2 × 2 матриц. Мм, п 2 × 2 матрица с 1 в т, п и нулями всюду. Это опять стандартный базис, так как это линейно независимы и охватывает.

Результаты (русский) 3:

Набор векторов в векторе пространства V называется основе, или в основе векторов, если векторов линейно независимы и любой другой вектор вектор линейно зависит от этих векторов. В более общем плане, основы линейно независимых связующего.
на основе вектора пространства V, каждый элемент V может быть выражена однозначно в виде линейной комбинации основе векторов,