1) A non-Euclidean geometry is char

1) A non-Euclidean geometry is characterized by a non-vanishing Riemann curvature tensor. Examples of non-Euclidean geometry include the hyperbolic and elliptic geometry, which are contrasted with a Euclidean geometry. The essential difference between Euclidean and non-Euclidean geometry is the nature of parallel lines. Euclid’s fifth postulate, the parallel postulate, is equivalent to Playfair’s postulate, which states that, within a tow-dimensional plane, for any given line L and a point A, which is not on L, there is exactly one line through A that dose not intersect L. In hyperbolic geometry, by contrast, there are infinitely many lines through A not intersect L, while in elliptic geometry, any line through A intersect L.
Another way to descried the difference between these geometries is to consider tow straight lines indefinitely extended in a tow-dimensional plane that are both perpendicular to a third line:
- In Euclidean geometry the lines remain at a constant distance from each other, and are known as parallels.
- In hyperbolic geometry they “curve away” from each other, increasing in distance as one moves further from the points of intersection with the common perpendicular; these lines are often called ultraparallels.
- In elliptic geometry the lines “curve toward” each other and eventually intersect.
Non-Euclidean geometry systems differ from Euclidean geometry in that they modify Euclid’s fifth postulate, which is also known as the parallel postulate.

2) In general, there are two forms of (homogeneous) non-Euclidean geometry, hyperbolic geometry and elliptic geometry. In hyperbolic geometry there are many distinct lines through a particular point that will not intersect with another given line. In elliptic geometry there are no lines that will not intersect, as all that start to separate will converge. In addition, elliptic geometry modifies Euclid’s first postulate so that two points determine at least one line. Riemannian geometry deals with geometries which are not homogeneous, which means that in some sense not all the points are the same. For example, consider the surface formed by gluing one end of a cylinder to a half sphere. Then points on the sphere locally obey elliptic geometry, but points on the cylinder locally obey Euclidean geometry. Bernhard Riemann, building on the work of Gauss, determined a method of describing such spaces. Basing new systems on these assumptions, each is constructed with its own rules and postulate. Non-Euclidean geometry and in particular elliptic geometry play an important role in relativity theory and the geometry of spacetime.
3) The concepts applied to certain Non-Euclidean planes can only be shown in three or even four dimensions. The Mobius strip and Klein bottle are both complete one-sided objects, impossible in a Euclidean plane. The Mobius strip can be shown in three dimensions, but the Klein bottle requires four.
4) While Euclidean geometry, named after the Greek mathematician Euclid, includes some of the oldest known mathematics, non-Euclidean geometry were not widely accepted as legitimate until the 19th century. The debate that eventually led to the discovery of non-Euclidean geometries began almost as soon as Euclid’s work Elements was written. In the Elements, Euclid began with a limited number of assumptions (23 definitions, five common notions, and five postulates) and sought to prove all the other results (propositions) in the work. The most notorious of the postulates is often referred to as “Euclid’s First Postulate”, or simply the “parallel postulate”, which in Euclid’s original formulation: If a straight line falls on two straight lines in such a manner that the interior angles on the same side are together less than two right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Other mathematicians have devised simpler forms of this property (see parallel postulate for equivalent statements). Regardless of the form of the postulate, however, it consistently appears to be more complicated than Euclid’s other postulates (which include, for example, “Between any two points a straight line may be drawn”). For several hundred years, geometers were troubled by the disparate complexity of the fifth postulate, and believed it could be proved as a theorem from the other four. Many attempted to find a proof by contradiction, including the Arabic mathematician Ibn al-Haytham (Alhazen, 11th century), the Persian mathematicians Omar Khayyam (12th century) and Nasir al-Tusi (13th century), and the Italian mathematician Giovanni Girolamo Saccheri (18th century).
5) The theorems of Ibn al-Haytham, Khayyam and al-Tusi on quadrilaterals, including the Lambert quadrilateral and Saccheri quadrilateral, were “the first few the theorems of the hyperbolic and the elliptic geometry”. These theorems along with their alternative postulates, such as Playfair’s axiom, play

Результаты (русский) 1:

1) Эвклидова геометрия характеризуется тензором кривизны Римана не исчезает. Эвклидова геометрия примеры гиперболических и эллиптической геометрии, которая контрастирует с эвклидовой геометрии. Существенное различие между евклидовой и неевклидовой геометрии является характер параллельных линий. Пятый постулат Евклида, Параллельный постулат эквивалентно Playfair в постулат, в котором говорится, что в кудель мерной плоскости для любой заданной линии L и точка A, которая не на L, существует ровно одна линия A, доза не пересекаются л В гиперболической геометрии, напротив, есть бесконечно много линий через A не пересекаются Л, в то время как в эллиптических геометрии, любой линии через intersect лЕще один способ различал разницу между этими геометрией является рассмотреть жгута прямые линии, бессрочно в кудель мерной плоскости, которые оба перпендикулярно к третьей строке:-В евклидовой геометрии линии остаются на постоянном расстоянии друг от друга и известны как parallels.-В гиперболической геометрии, они «изгибают прочь» друг от друга увеличивая расстояние как движется дальше от точки пересечения с общим перпендикуляр; Эти линии часто называют ultraparallels.-В эллиптической геометрии линии «кривой к» друг от друга и в конечном итоге пересекаются.Эвклидова геометрия системы отличаются от эвклидовой геометрии в том, что они изменяют Пятый постулат Эвклида, который также известен как Параллельный постулат.2) в целом, существует две формы (однородные) Эвклидова геометрия, гиперболической геометрии и эллиптической геометрии. В гиперболической геометрии есть много различных линий через определенный момент, который не будет пересекаться с другим учетом линии. В эллиптической геометрии нет строк, не пересекутся, как все это начать, чтобы отделить будет сходиться. Кроме того эллиптическая геометрия изменяет первый постулат Эвклида так, что две точки определяют хотя бы одну строку. Риманова геометрия имеет дело с геометрией, которые не являются однородными, что означает, что в некотором смысле не все точки совпадают. Например рассмотрим поверхность, формируется путем склеивания один конец цилиндра на половину сферы. Затем точки области локально подчиняться эллиптической геометрии, но с точки на цилиндр локально эвклидовой геометрии. Бернхард Риман, опираясь на результаты работы Гаусса, определяется способ описания таких пространств. Новые системы на основе этих предположений, каждый построен с своими собственными правилами и постулатом. Эвклидова геометрия и в частности эллиптической геометрии играют важную роль в теории относительности и геометрия spacetime.3) понятия, применяемые к некоторым Эвклидова самолеты могут появляться только в трех или даже четырех измерений. Мебиуса и бутылка Кляйна являются оба полных односторонних объектов, невозможно в евклидовой плоскости. Мебиуса может быть показан в трех измерениях, но бутылка Кляйна требует четыре.4) While Euclidean geometry, named after the Greek mathematician Euclid, includes some of the oldest known mathematics, non-Euclidean geometry were not widely accepted as legitimate until the 19th century. The debate that eventually led to the discovery of non-Euclidean geometries began almost as soon as Euclid’s work Elements was written. In the Elements, Euclid began with a limited number of assumptions (23 definitions, five common notions, and five postulates) and sought to prove all the other results (propositions) in the work. The most notorious of the postulates is often referred to as “Euclid’s First Postulate”, or simply the “parallel postulate”, which in Euclid’s original formulation: If a straight line falls on two straight lines in such a manner that the interior angles on the same side are together less than two right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Other mathematicians have devised simpler forms of this property (see parallel postulate for equivalent statements). Regardless of the form of the postulate, however, it consistently appears to be more complicated than Euclid’s other postulates (which include, for example, “Between any two points a straight line may be drawn”). For several hundred years, geometers were troubled by the disparate complexity of the fifth postulate, and believed it could be proved as a theorem from the other four. Many attempted to find a proof by contradiction, including the Arabic mathematician Ibn al-Haytham (Alhazen, 11th century), the Persian mathematicians Omar Khayyam (12th century) and Nasir al-Tusi (13th century), and the Italian mathematician Giovanni Girolamo Saccheri (18th century).5) The theorems of Ibn al-Haytham, Khayyam and al-Tusi on quadrilaterals, including the Lambert quadrilateral and Saccheri quadrilateral, were “the first few the theorems of the hyperbolic and the elliptic geometry”. These theorems along with their alternative postulates, such as Playfair’s axiom, play

Результаты (русский) 2:

1) неевклидовой геометрии характеризуется ненулевым тензором кривизны Римана. Примеры неевклидовой геометрии включают гиперболической и эллиптической геометрией, которые контрастируют с евклидовой геометрии. Существенное различие между евклидовой и неевклидовой геометрии является природа параллельных линий. Пятый постулат Евклида, параллельный постулат, эквивалентно постулату Playfair, который гласит , что в пределах буксировочной-мерной плоскости, для любой заданной линии L и точку А, которая не находится на L, имеется ровно одна линия , проходящая через А ту же дозу не пересекаются L. в гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечное множество линий через не пересекаются L, а в эллиптической геометрии, любая линия , проходящая через A пересекаются L.
другой способ descried разницу между этими геометрий рассматривать буксирные прямые линии на неопределенный срок продлен на буксире двухмерной плоскости, которые перпендикулярны третьей линии:
-. в евклидовой геометрии линии остаются на постоянном расстоянии друг от друга, и они известны как параллелей
- в гиперболической геометрии они "кривая далеко" друг от друга, увеличение расстояния по мере продвижения дальше от точек пересечения с общим перпендикулярны; эти линии часто называют ultraparallels.
- В эллиптической геометрии линии "кривой в направлении" друг с другом и в конце концов пересекаются.
Системы неевклидовой геометрии отличается от евклидовой геометрии в том , что они изменяют пятый постулат Евклида, который также известен как постулата.

2 ) В общем, есть две формы (однородных) неевклидовой геометрии, гиперболической и эллиптической геометрии. В гиперболической геометрии существует множество различных линий через определенную точку , которая не пересекается с другим данной линии. В эллиптической геометрии нет линий , которые не пересекаются, так как все , что начинают отделять будет сходиться. Кроме того, геометрия эллиптическая модифицирует первый постулат Евклида так , что две точки определяют по меньшей мере одну линию. Риманова геометрия имеет дело с геометрией , которые не являются однородными, а это значит , что в каком - то смысле не все точки одинаковы. Например, рассмотрим поверхность , соединенная склеиванием один конец цилиндра к полусфере. Тогда точки на сфере локально подчиняются эллиптическую геометрию, но указывает на цилиндре локально подчиняются евклидовой геометрии. Бернхард Риман, опираясь на работу Гаусса, определяется метод описания таких пространств. На основе новых систем на этих предположениях, каждая построена со своими собственными правилами и постулата. Неевклидова геометрия и , в частности , эллиптической геометрии играют важную роль в теории относительности и геометрия пространства - времени.
3) Понятия , применяемые к определенным неевклидовой плоскостей можно показать только в трех или даже четырех измерениях. Мёбиуса и бутылка Клейна оба полные односторонние объекты, невозможно в евклидовой плоскости. Мёбиуса может быть показан в трех измерениях, но бутылка Клейна требует четыре.
4) В то время как геометрия Евклида, названный в честь греческого математика Евклида, включает в себя некоторые из самых старых известных математике, неевклидовой геометрии были не широко признаны законными до тех пор , 19 век. Дебаты , которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии началось почти сразу после того, как работа Евклида была написана. В элементах, Евклид начал с ограниченным числом допущений (23 определений, пять общих понятий, а также пять постулатов) и стремились доказать все другие результаты (предложения) в работе. Наиболее известный из постулатов часто называют "первым постулатом Евклида", или просто "постулата", который в оригинальной формулировке Евклида: Если прямая падает на две прямые линии таким образом , что внутренние углы на та же сторона вместе меньше двух прямых углов, то прямые линии, если их бесконечно, встречаются на той стороне , на которой углы меньше двух прямых углов. Другие математики разработали более простые формы этого свойства (см параллельный постулат для эквивалентных формулировок). Независимо от формы постулата, тем не менее, она последовательно оказывается более сложным , чем другие постулаты Евклида (которые включают в себя, например, "между любыми двумя точками прямой линии могут быть нарисованы"). В течение нескольких сотен лет, геометры были обеспокоены неравном сложностью пятого постулата, и полагал , что это может быть доказано как теорему из остальных четырех. Многие пытались найти доказательство от противного, в том числе арабский математик Ибн аль-Хайтам (Альхазен, 11 век), персидских математиков Омар Хайям (12 век) и Насир аль-Туси (13 век), а также итальянский математик Саккери (18 век).
5) теоремы Ибн аль-Хайтам, Хайяма и аль-Туси на четырехугольники, включая четырехугольник Ламберта и Саккери четырехугольника, были "первые теоремы гиперболической и эллиптической геометрии". Эти теоремы вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиому Playfair, поиграйте в