5.7. Теорема о движении центра масс

5.7. Теорема о движении центра масс механической системы
Преобразуем равенство (5.14), подставив в него количество движения системы в виде (5.3)
.
Учитывая, что масса системы постоянна, получим

или
. (5.22)
Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики точки (1.2), приходим к следующей формулировке теоремы о движении центра масс: Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Спроецируем уравнение (5.22) на оси неподвижной декартовой системы координат и получим дифференциальные уравнения движения центра масс:
. (5.23)
Сформулируем следствия из теоремы.
1) Внутренние силы не влияют непосредственно на движение центра масс системы, но могут оказывать косвенное влияние через внешние силы (см. замечание, приведенное в 1-м следствии подраздела 5.5).
2) Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, на рассматриваемом интервале времени равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Положим в уравнении (5.22) , тогда ускорение центра масс , т.е. его скорость . При этом, если начальная скорость центра масс , то центр масс находится в покое, а если , то центр масс движется равномерно и прямолинейно с этой скоростью.
3) Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось на рассматриваемом интервале времени равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется.
Положив в 1-м уравнении (5.23) , получим, что , т.е. . Если при этом в начальный момент времени проекция скорости центра масс , то , т.е. центр масс не движется вдоль оси х. Остановимся на этом случае подробнее. Предположим, что в начальный момент времени абсциссы точек системы были равны , а в момент времени стали равны . Поскольку в рассматриваемом случае , из формул (4.3), определяющих координаты центра масс, следует
,
откуда после преобразований получим

Результаты (русский) 1:

5.7. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС ОСТАНОВЛЕННОМ РАЗБРАСЫВАНИЕ ПРЕОБРАЗУЕМ РАВЕНСТВО (5.14), ПОДСТАВИВ В НЕГО КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ РАЗБРАСЫВАНИЕ В ВИДЕ (5.3).УЧИТЫВАЯ, ЧТО МАССА РАЗБРАСЫВАНИЕ ПОСТОЯННА, ПОЛУЧИМИЛИ. (5.22)СРАВНИВАЯ ЭТО УРАВНЕНИЕ С ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЕМ ДИНАМИКИ ТОЧКИ (1,2), ПРИХОДИМ К СЛЕДУЮЩЕЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС: ЦЕНТР МАСС ОСТАНОВЛЕННОМ РАЗБРАСЫВАНИЕ ДВИЖЕТСЯ КАК МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА, В КОТОРОЙ СОСРЕДОТОЧЕНА КЛИЕНТ МАССА РАЗБРАСЫВАНИЕ И К КОТОРОЙ ПРИЛОЖЕНЫ ВСЕ ВНЕШНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СИСТЕМУ. СПРОЕЦИРУЕМ УРАВНЕНИЕ (5.22) НА ОСИ НЕПОДВИЖНОЙ ДЕКАРТОВОЙ РАЗБРАСЫВАНИЕ КООРДИНАТ И ПОЛУЧИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС:. (5.23) СФОРМУЛИРУЕМ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ. 1) ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ НЕ ВЛИЯЮТ НЕПОСРЕДСТВЕННО НА ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ПРОГОНЕ, НО КРОМКЕ ОКАЗЫВАТЬ КОСВЕННОЕ ВЛИЯНИЕ ЧЕРЕЗ ВНЕШНИЕ СИЛЫ (СМ. ЗАМЕЧАНИЕ, ПРИВЕДЕННОЕ В 1-М СЛЕДСТВИИ ПОДРАЗДЕЛА 5.5). 2) ЕСЛИ ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР ВНЕШНИХ КАК ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СИСТЕМУ, НА РАССМАТРИВАЕМОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ РАВЕН НУЛЮ, ТО ЦЕНТР МАСС РАЗБРАСЫВАНИЕ НАХОДИТСЯ В ПОКОЕ ИЛИ ДВИЖЕТСЯ РАВНОМЕРНО И ПРЯМОЛИНЕЙНО. ПОЛОЖИМ В УРАВНЕНИИ (5.22), ТОГДА УСКОРЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС, Т.Е. ФОЛЛИКУЛОСТИМУЛИРУЮЩЕГО СКОРОСТЬ. ПРИ ЭТОМ, ВКЛЮЧАЯ НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ЦЕНТРА МАСС, ТО ЦЕНТР МАСС НАХОДИТСЯ В ПОКОЕ, А ВКЛЮЧАЯ, ТО ЦЕНТР МАСС ДВИЖЕТСЯ РАВНОМЕРНО И ПРЯМОЛИНЕЙНО С ЭТОЙ СКОРОСТЬЮ. 3) ЕСЛИ ПРОЕКЦИЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА ВНЕШНИХ КАК РАЗБРАСЫВАНИЕ НА НЕКОТОРУЮ НЕПОДВИЖНУЮ ОСЬ НА РАССМАТРИВАЕМОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ РАВНА НУЛЮ, ТО ПРОЕКЦИЯ СКОРОСТИ ЦЕНТРА МАСС РАЗБРАСЫВАНИЕ НА ЭТУ ОСЬ НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ. ПОЛОЖИВ В 1-М УРАВНЕНИИ (5.23), ПОЛУЧИМ, ЧТО, Т.Е. ЕСЛИ ПРИ ЭТОМ В НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ПРОЕКЦИЯ СКОРОСТИ ЦЕНТРА МАСС, ТО, Т.Е. ЦЕНТР МАСС НЕ ДВИЖЕТСЯ ВДОЛЬ ОСИ Х. ОСТАНОВИМСЯ НА ЭТОМ СЛУЧАЕ ПОДРОБНЕЕ. ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО В НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ АБСЦИССЫ ТОЧЕК ПРОГОНЕ БЫЛИ РАВНЫ, А В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ СТАЛИ РАВНЫ. ПОСКОЛЬКУ В РАССМАТРИВАЕМОМ СЛУЧАЕ, ИЗ ФОРМУЛ (4.3), ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС СЛЕДУЕТ,ОТКУДА ПОСЛЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛУЧИМ

Результаты (русский) 2:

5.7. О движении Теорема центра масс механической системы
Преобразуем равенство (5.14), подставив в него количество движения системы в виде (5.3)
.
Учитывая, что масса системы постоянна, получим

или
. (5.22)
Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики точки (1.2), приходим к следующей формулировке теоремы о движении центра масс : Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы , действующие на . систему
Спроецируем уравнение (5.22) на оси неподвижной декартовой системы координат и получим дифференциальные уравнения движения центра масс :
. (5.23)
Сформулируем следствия из теоремы.
1) Внутренние силы не влияют непосредственно на движение центра масс системы , но могут оказывать косвенное влияние через внешние силы (см. Замечание, приведенное в 1-м следствии подраздела 5.5).
2) Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, на рассматриваемом интервале времени равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно .
Положим в уравнении (5.22), тогда ускорение центра масс, т.е. его скорость. При этом, если начальная скорость центра масс, то центр масс находится в покое, а если, то центр масс движется равномерно и прямолинейно с этой скоростью .
3) Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось на рассматриваемом интервале времени равна нулю , то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется .
Положив в 1-м уравнении (5.23), получим, что, т.е. , Если при этом в начальный момент времени проекция скорости центра масс , то, т.е. центр масс не движется вдоль оси х. Остановимся на этом случае подробнее. Предположим, что в начальный момент времени абсциссы точек системы были равны , а в момент времени стали равны. Поскольку в рассматриваемом случае, из формул (4.3), определяющих координаты центра масс, следует
,
откуда после преобразований получим

Результаты (русский) 3:

5.7.Теорема, движении стороны и масс механической системыПреобразуем равенство (5.14), подставив в и количество движения системы в виде (5.3).Учитывая, что масса системы постоянна, получимили.(5.22)Сравнивая и уравнение с основным уравнением динамики точки (1.2), приходим к следующей формулировке теоремы, движении стороны и масс: центр масс механической системы движется как материальная экономики обсудят общие тенденции, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.Спроецируем уравнение (5.22) на оси неподвижной декартовой системы координат и получим дифференциальные уравнения движения стороны и масс:.(5,23)Сформулируем следствия из теоремы.1) Внутренние силы не влияют непосредственно на личной стороны и масс системы, но могут оказывать косвенное было в внешние силы (см.замечание, приведенное в 1 - м следствии подраздела  5.5).2) если главный вектор внешних сил, действующих на систему, на рассматриваемом вф и равен нулю, то центр масс системы находится в всего или движется равномерно и прямолинейно.Положим в уравнении (5.22), then ускорение стороны и масс, т. е.его скорость.при этом, если начальная скорость стороны и масс, то центр масс находится в всего, а если, то центр масс движется равномерно и прямолинейно с этой может.3) если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось на рассматриваемом вф и равна нулю, то проекция скорости стороны и масс системы на эту ось не изменяется.Положив в 1 - м уравнении (5,23), получим, что, т. е.если при этом в начальный момент времени проекция скорости стороны и масс, то, т. е.центр масс не движется вдоль оси х.Остановимся на этом In подробнее.Предположим, что в начальный момент времени абсциссы increase системы, равны, а в момент времени, равны.интересен в рассматриваемом In, из формул (4.3), определяющих координаты стороны и масс, следует,откуда преобразований получим.