To new concepts correspond, necessa

To new concepts correspond, necessarily, new signs. These we choose in such a way that they remind us of the phenomena which were the occasion for the formation of the new concepts. So the geometrical figures are signs or mnemonic symbols of space intuition and are used as such by all mathematicians. Who does not always use along with the double inequality a > b > c the picture of three points following one another on a straight line as the geometrical picture of the idea "between"? Who does not make use of drawings of segments and rectangles enclosed in one another, when it is required to prove with perfect rigor a difficult theorem on the continuity of functions or the existence of points of condensation? Who could dispense with the figure of the triangle, the circle with its center, or with the cross of three perpendicular axes? Or who would give up the representation of the vector field, or the picture of a family of curves or surfaces with its envelope which plays so important a part in differential geometry, in the theory of differential equations, in the foundation of the calculus of variations and in other purely mathematical sciences?
The arithmetical symbols are written diagrams and the geometrical figures are graphic formulas; and no mathematician could spare these graphic formulas, any more than in calculation the insertion and removal of parentheses or the use of other analytical signs.
The use of geometrical signs as a means of strict proof presupposes the exact knowledge and complete mastery of the axioms which underlie those figures; and in order that these geometrical figures may be incorporated in the general treasure of mathematical signs, there is necessary a rigorous axiomatic investigation of their conceptual content. Just as in adding two numbers, one must place the digits under each other in the right order, so that only the rules of calculation, i. e., the axioms of arithmetic, determine the correct use of the digits, so the use of geometrical signs is determined by the axioms of geometrical concepts and their combinations.
The agreement between geometrical and arithmetical thought is shown also in that we do not habitually follow the chain of reasoning back to the axioms in arithmetical, any more than in geometrical discussions. On the contrary we apply, especially in first attacking a problem, a rapid, unconscious, not absolutely sure combination, trusting to a certain arithmetical feeling for the behavior of the arithmetical symbols, which we could dispense with as little in arithmetic as with the geometrical imagination in geometry. As an example of an arithmetical theory operating rigorously with geometrical ideas and signs, I may mention Minkowski's work, Die Geometrie der Zahlen.2
Some remarks upon the difficulties which mathematical problems may offer, and the means of surmounting them, may be in place here.
If we do not succeed in solving a mathematical problem, the reason frequently consists in our failure to recognize the more general standpoint from which the problem before us appears only as a single link in a chain of related problems. After finding this standpoint, not only is this problem frequently more accessible to our investigation, but at the same time we come into possession of a method which is applicable also to related problems. The introduction of complex paths of integration by Cauchy and of the notion of the IDEALS in number theory by Kummer may serve as examples. This way for finding general methods is certainly the most practicable and the most certain; for he who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks for the most part in vain.
In dealing with mathematical problems, specialization plays, as I believe, a still more important part than generalization. Perhaps in most cases where we seek in vain the answer to a question, the cause of the failure lies in the fact that problems simpler and easier than the one in hand have been either not at all or incompletely solved. All depends, then, on finding out these easier problems, and on solving them by means of devices as perfect as possible and of concepts capable of generalization. This rule is one of the most important levers for overcoming mathematical difficulties and it seems to me that it is used almost always, though perhaps unconsciously.
Occasionally it happens that we seek the solution under insufficient hypotheses or in an incorrect sense, and for this reason do not succeed. The problem then arises: to show the impossibility of the solution under the given hypotheses, or in the sense contemplated. Such proofs of impossibility were effected by the ancients, for instance when they showed that the ratio of the hypotenuse to the side of an isosceles right triangle is irrational. In later mathematics, the question as to the impossibility of certain solutions plays a preeminent part, and we perceive in this way that old and difficult problems, such as the proof of the axiom

Результаты (русский) 1:

Новые концепции соответствуют, обязательно, новые знаки. Эти мы выбираем таким образом, что они напоминают нам о явлений, которые являются поводом для формирования новых концепций. Таким образом геометрические фигуры являются знаками или мнемонические символы космической интуиции и используются как таковые всеми математиками. Кто не всегда используется вместе с двойной неравенства > b > c изображение трех точек после друг друга по прямой линии как геометрический рисунок идея «между»? Кто не делает использование чертежей сегментов и прямоугольников, заключенный в друг с другом, когда требуется доказать с идеальной строгости трудной теорема о непрерывности функций или существование точек конденсации? Кто может обойтись с фигурой Треугольника, круг с центром или с крестом трех перпендикулярных осей? Или кто бы представление поля вектора или изображение семейства кривых или поверхностей с его конверт, который играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, Фонд Вариационное и других чисто математических наук?Арифметические символы записываются диаграммы и геометрические фигуры представляют собой графические формулы; и не математик может эти графические формулы, больше, чем в расчете вставки и удаления скобок или использование других аналитических признаков.Использование геометрических знаков как средство строгих доказательств предполагает точное знание и полное господство аксиом, которые лежат в основе этих фигур; и чтобы эти геометрические фигуры могут быть включены в общее сокровище математических знаков, необходимо тщательное аксиоматического расследование их концептуального содержания. Как и в добавлении двух чисел, одно необходимо поместить цифры друг под другом в правильном порядке, так что только правила расчета, т. е., аксиомах арифметики, определить правильное использование цифр, поэтому использование геометрических знаков определяется аксиом геометрических понятий и их комбинаций.Соглашение между геометрической и арифметической мысли показано также в том, что мы обычно не следуют цепи рассуждений к аксиом в арифметическом, больше чем в геометрической дискуссии. Напротив мы применяем, особенно в первой атаке проблемы, быстро, в бессознательном состоянии, не совсем уверен комбинация, доверяя арифметическую чувство поведения арифметические символы, которые мы могли бы обойтись лишь в арифметике с геометрическим воображение в геометрии. В качестве примера арифметической теории работает строго с геометрическими идеями и признаки назову работы Минковского, Die Geometrie дер Zahlen.2Некоторые замечания на трудности, какие математические проблемы могут предложить и средства преодоления их, может быть на месте здесь.Если мы не добьемся успеха в решении проблемы с математической проблемы, причина часто заключается в нашей неспособности признать более общей точки зрения, с которой проблема перед нами появляется только как одно звено в цепочке связанных с этим проблем. После нахождения этой точки зрения, не только эта проблема часто более доступной для нашего исследования, но в то же время мы приходим во владение метод, который применяется также к связанным с ними проблемам. Примерами может служить внедрение сложных путей интеграции Коши и понятия в теории чисел, Куммера ИДЕАЛОВ. Таким образом, для нахождения общих методов, несомненно, наиболее практичным и наиболее определенным; ибо тот, кто ищет методы, не имея в виду определенные проблемы ищет по большей части в тщетном.В решении математических задач, специализация играет, как я считаю, еще более важную роль, чем обобщение. Возможно в большинстве случаев, когда мы стремимся в тщетном ответ на вопрос, причиной неудачи заключается в том, что проблемы проще и легче, чем в руке были либо вовсе, либо не полностью решены. Затем, все зависит от узнать эти проблемы легче и их решения посредством устройств как можно более совершенными и концепций, способных обобщения. Это правило является одним из наиболее важных рычагов для преодоления трудностей, математических и мне кажется, что он используется почти всегда, хотя может быть, бессознательно.Иногда это случается, что мы ищем решение недостаточно гипотез или неправильное смысле и по этой причине не удастся. Тогда возникает проблема: чтобы показать невозможность решения данной гипотезы, или в том смысле, предусматривается. Такие доказательства невозможности были произведены от древних, например когда они показали, что отношение гипотенузы к стороне равнобедренный правый треугольник является иррациональным. В более поздних математике вопрос о невозможности некоторых решений играет выдающийся часть, и мы воспринимаем в этом случае, старые и сложные проблемы, такие как доказательство аксиома

Результаты (русский) 2:

Новые концепции соответствуют, обязательно, новые знаки. Это мы выбираем таким образом , что они напоминают нам о явлениях , которые были поводом для формирования новых понятий. Таким образом, геометрические фигуры , знаки или мнемонические символы космической интуиции и используются в качестве таковых всех математиков. Кто не всегда использует наряду с двойным неравенством а> Ь> с изображением трех точек следующих друг за другом на одной прямой в виде геометрической картины идеи "между"? Кто не использовать чертежи отрезков и прямоугольников вложенных друг в друга, когда требуется доказать с совершенной строгостью сложную теорему о непрерывности функций или существования точек конденсации? Кто бы мог обойтись без фигуры треугольника, окружности с центром, или с крестом из трех перпендикулярных осей? Или кто бы отказаться от представления векторного поля, или картину семейства кривых или поверхностей с ее оболочкой , которая играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основе вариационного исчисления ? и в других чисто математических наук
арифметические символы записываются диаграммы и геометрические фигуры являются графическими формулами; и ни один математик не мог избавить эти графические формулы, больше , чем при расчете вставка и удаление скобок или использование других аналитических признаков.
Использование геометрических знаков в качестве средства строгого доказательства предполагает точное знание и полное мастерство аксиом, лежат эти цифры; и для того , чтобы эти геометрические фигуры могут быть включены в общую сокровищницу математических знаков, то необходимо строгое аксиоматическое исследование их концептуального содержания. Так же , как и в сложения двух чисел, необходимо поместить цифры друг под другом в правильном порядке, так что только правила расчета, т.е. аксиомы арифметики, определить правильное использование цифр, поэтому использование геометрических знаков определяется аксиомами геометрических понятий и их сочетаний.
соглашение между геометрической и арифметической мысли проявляется также в том , что мы не по привычке следовать цепочку рассуждений обратно к аксиомам в арифметической, больше , чем в геометрических дискуссий. Наоборот мы применяем, особенно в первом нападении на проблему, быстрое, без сознания, не совсем уверен , комбинацию, доверяя к определенному арифметической чувства за поведение арифметических символов, которые мы могли бы освобождают лишь в арифметике , как с геометрическим воображение в геометрии. В качестве примера арифметической теории , оперирующей строго с геометрическими идеями и знаками, я могу упомянуть работу Минковского, Die Geometrie дер Zahlen.2
Некоторые замечания после трудностей , с которыми математические проблемы могут предложить, и средства их преодоления, может быть на месте здесь .
Если нам не удастся в решении математической задачи, причина часто заключается в нашей неспособности признать более общей точки зрения , с которой эта проблема перед нами появляется только как одно звено в цепи связанных с этим проблем. После обнаружения этой точки зрения не только эта проблема часто более доступной для нашего исследования, но в то же время мы приходим во владение метод , который применим также связанных с этим проблем. Внедрение сложных путей интегрирования по Коши и понятия идеалами в теории чисел Куммером может служить в качестве примеров. Таким образом , для нахождения общих методов, безусловно , является наиболее практичным и наиболее верным; ибо тот , кто ищет методы , не имея определенную проблему в виду , ищет по большей части тщетно.
При решении математических задач, специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль , чем обобщение. Возможно , в большинстве случаев , когда мы ищем напрасно ответ на вопрос, причина отказа заключается в том , что проблемы проще и легче , чем в кассе, либо не совсем или не полностью решенной. Все зависит от того , то, на выяснение этих проблем проще, и на их решения с помощью устройств как можно более совершенного и понятий , способных обобщения. Это правило является одним из наиболее важных рычагов для преодоления математических трудностей , и мне кажется , что она используется почти всегда, хотя , возможно , бессознательно.
Время от времени бывает так, что мы ищем решение при недостаточности гипотез или в неправильном смысле, и по этой причине не удастся. Тогда возникает проблема: чтобы доказать невозможность решения при заданных гипотез, или в том смысле , предполагается. Такие доказательства невозможности осуществлялись древними породами, например , когда они показали , что отношение гипотенузы к стороне равнобедренного прямоугольного треугольника является нерациональным. В более поздних математике, вопрос о невозможности некоторых решений играет первенствующее часть, и мы воспринимаем таким образом , что старые и сложные проблемы, такие как доказательство аксиомы

Результаты (русский) 3:

в новой концепции совпадают, обязательно, новые знаки.это мы решили таким образом, что они напоминают нам о явлениях, которые стали поводом для формирования новых концепций.так что геометрические фигуры знаков или символов пространства мнемоника интуиции и используются в качестве такового всеми математики.кто не всегда использовать наряду с двойной неравенство > b > C картина три очка после друг друга на прямой линии, как геометрические картины идея "между"?кто не использует чертежи сегментов и прямоугольники, заключенный в друг друга, когда требуется доказать с идеальной строгости сложная теорема о непрерывности функций или наличие точки конденсации?кто может обойтись без цифра треугольник, круг с центром, или с креста трех перпендикулярно оси?и кто бы представителей векторное поле, или фотографии семьи кривые или поверхностей с его конверт, который играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основу этого вариационное исчисление и другие чисто математических наук?арифметическая обозначения написаны диаграммы и геометрические фигуры, наглядно формул; и не могут спасти эти графические формулы, математик, больше, чем в расчет включения и устранение круглые или использование других аналитических знаки.использование геометрические знаки в качестве средства строгого доказательства предполагает точное знание и полное владение аксиом, лежащих в основе этих данных; и с тем, что эти геометрические фигуры могут быть включены в общие сокровище математические знаки, необходимо тщательное расследование их аксиомой концептуальное содержание.как добавить два числа, необходимо поставить цифры по друг другу в порядке, так что только правила расчета, т. е. аксиом арифметики, определить правильное использование цифры, так что использование геометрические признаков определяется аксиом геометрических понятий и их комбинации.соглашение между геометрических и арифметические думал приводится также в том, что мы не обычно за цепь рассуждений обратно аксиомы в арифметической, больше, чем в геометрической обсуждений.напротив, мы применяем, особенно в первом нападении проблемы быстро, без сознания, не совсем уверен, комбинации, доверяя определенного арифметические чувство за поведение арифметические символы, которые мы могли бы обойтись без, как мало в арифметике, как с геометрической воображение в геометрии.в качестве примера арифметическая теории, действующих строго с геометрическими идей и знаки, я хотел бы отметить работу минковский, die geometrie der Zahlen 2.некоторые замечания по трудности, которые могут предложить математических проблем, и средства их устранения, может быть здесь.если мы не добьемся успеха в разрешении математическая задача, причина, по которой часто состоит в нашу неспособность признать более общей точки зрения, которые перед нами проблемы, похоже, только в одно звено в цепи взаимосвязанных проблем.после вывода этой точки зрения, это не только проблема часто более доступными для нашего расследования, но в то же время мы пришли во владение метод, который применяется также к проблемам.введение комплекса пути интеграции коши и понятия идеалы, в теории чисел в куммер может служить в качестве примера.таким образом, для поиска общих методов, безусловно, наиболее практичным и наиболее определенные; тот, кто ищет методы, не имея определенные проблемы в виду стремится, по большей части, напрасно.в связи с математических задач, специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль, чем обобщения.возможно, в большинстве случаев, когда мы тщетно искать ответ на вопрос, причиной срыва заключается в том, что проблемы проще и легче, чем тот, в руке были не на всех или не полностью решены.все зависит от того, затем на выяснение этих легче проблем, и по решению их с помощью устройств, как идеально, а возможно, и концепций, способных обобщения.это правило является одним из наиболее важных рычагов для преодоления математических трудности, и мне кажется, что она используется почти всегда, хотя, возможно, бессознательно.иногда случается, что мы ищем решение, в соответствии с недостаточным гипотезы или в неверном смысла, и по этой причине не удастся.тогда возникает проблема: чтобы продемонстрировать невозможность решения по данной гипотезы, или в том смысле, не планируется.такие доказательства не были выполнены, древние, например, когда они показывают, что соотношение гипотенуза в сторону от isosceles прямоугольный треугольник иррационально.позже в математике, вопрос о невозможности некоторых решений играет главнейшая часть, и мы воспринимаем, таким образом, что старые и сложных проблем, таких, как доказательств аксиома