1750 Richard von Misesintuitionist

1750 Richard von Mises
intuitionist mathematics and that does not break down on application to infinite sets, it is advisable, instead of admitting "exceptions," to formulate the basic axioms a little differently. This problem was solved for the first time by A. Heyting, but we shall follow the later exposition by A. Kol- mogoroff, which points out more clearly the fundamental idea.
Let the letters Ay JB, C . . . signify, instead of statements, as before, problems to be solved. We may think of mathematical problems, e.g., to construct a triangle under given stipulations, or to calculate a number defined in a particular way, say the root of an equation. We shall use the sign for negation in order to signify that the solution of a problem is im¬possible, i.e., leads to a contradiction. Letters connected by means of a comma——will be taken to mean both problems; those connected by 'V"—"AyB"—to mean at least one of the two problems, A,B. Finally, the sign for implication, "->", will be used in the sense that means
to reduce the solution of B to that of A. Now, for the use of the four signs V, one can prescribe those and only those rules which
correspond to the situations in solving problems. For example, the formula "[/!,(Ais always true; in words it means that the solution of the problem B is reducible to the solution of the two problems, A and the reduction of B to A. Similarly in words,
if B is reducible to Ay and C to By then the reduction of C to A is reducible to these two problems, namely, to the carrying out of the two reductions. In the ordinary propositional calculus the first of these two formulas would state that if A holds and B follows from A, then B also holds; and the second, if B follows from Ay and C from By then it follows that C follows from A.
Thus in these two examples there is no essential difference between the propositional calculus and the new problem calculus. But while in the former the formula "~AvA" is valid, i.e., always, either non-A or A holds, we have no reason to admit the generality of the theorem: one of the two properties of problem A must be true, either A is solvable or A is recognizable as contradictory. One can see here that with a suitable agree¬ment about symbols there will result an algorithm that agrees on the whole with ordinary truth-function theory, but that does not contain the formula which expresses the theorem of the excluded middle. This argument has the same significance as the acceptance of the logical independence of Euclid's parallel axiom, which led to the construction of the non-Euclidean geometries. We have arrived here at a special form of "non-Aristotelian logic," a form which is also called by the misleading name (since it is reminiscent of "intuitive") "intuitionist logic."
The main application of the intuitionist contribution consists in supply¬ing us with a method of rejecting from all previous mathematical results those in whose derivation the tertium exclusum was used, including, in

Результаты (русский) 2:

1750 Рихард фон Мизес
интуиционистской математики и, не сломать при нанесении на бесконечных множеств, желательно, вместо признания «исключения», чтобы сформулировать основные аксиомы немного по-другому. Эта проблема была решена в первый раз А. Гейтингом, но мы будем следовать более поздней экспозицию А. кол- mogoroff, что указывает более четко фундаментальную идею.
Пусть письма Ай JB, C. , , означает, вместо заявлений, как раньше, проблемы должны быть решены. Мы можем думать о математических проблем, например, построить треугольник при заданных положений, или рассчитать количество, определенное в определенным образом, говорят, что корень уравнения. Мы будем использовать знак для отрицания того, чтобы показать, что решение задачи является im¬possible, т.е. приводит к противоречию. Письма, связанные с помощью запятой - будут приняты в виду обе проблемы; те, которые связаны с "V" - "Айб" -в виду, по крайней мере один из этих двух проблем, A, B, наконец, знак для проявления,. "->", будет использоваться в том смысле, что означает
уменьшить решение В к А. Теперь, для использования четырех знаков V, можно прописать те и только те правила, которые
соответствуют ситуации в решении проблем, например, формула "[/ !, (Айс всегда верно;. в словами, это означает, что решение задачи Б сводится к решению двух задач А и сокращения В к А. Аналогично в словах,
если В сводится к Ау и С к тому времени сокращения С до А сводится к этим двум проблемам, а именно, проведение двух сокращений В обычном исчислении высказываний Первый из этих двух формул бы заявить, что, если имеет место и Б следует из А, то В также имеет;. и второй, если В следует из Ау и С из К тому следует, что С следует из А.
Таким образом, в этих двух примерах нет существенной разницы между исчисления высказываний и нового исчисления проблемы. Но в то время как в бывшей формула "~ AvA" действует, т.е. всегда, держит либо не или, у нас нет никаких оснований, чтобы признать общность теоремы: один из двух свойств задачи должны быть правдивыми, либо разрешима или узнаваем, как противоречивы. Здесь можно увидеть, что при подходящем agree¬ment о символах будет привести алгоритм, который соглашается в целом с обычной теории истины функции, но не содержит формулу, которая выражает теорему исключенного третьего. Этот аргумент имеет то же значение, как принятие логической независимости аксиомы о параллельных Евклида, что привело к строительству неевклидовых геометрий. Мы приехали сюда на специальном виде "не аристотелевской логики," форму, которая также называется в заблуждение название (так как это напоминает "интуитивного") "интуиционистской логики."
Основное применение вклада интуиционистской состоит в supply¬ing нас с методом отказа от всех предыдущих математических результатов те, чьи вывода используется Третьего exclusum, в том числе, в

Результаты (русский) 3:

1750 Ричард результатах Арконеса
intuitionist математики и не разрушить приложения на бесконечность, рекомендуется, вместо допущения "исключения", сформулировать основные аксиомы немного по-разному. Эта проблема была решена в первый раз A. Колмогоров, но мы будем следовать позднее выставка, A. Kol- mogoroff, в которой отмечается более четко основная идея.